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Uma tecla especial

PROBLEMA

Marcos possui uma calculadora com uma tecla especial além de teclas para as funções convencionais como exponencial ([tex]Exp[/tex]), raiz quadrada ([tex]\sqrt{\ \ }[/tex]), etc. A tecla especial é a [tex]\Delta[/tex] que, para cada número natural, gera um número inteiro ao ser pressionada.
A tecla [tex]\Delta[/tex] possui as seguintes propriedades:
[tex]\qquad{(1) \Delta(n+11)=\Delta(n);}[/tex]
[tex]\qquad{(2) \Delta(n\cdot m)=\Delta(n)\Delta (m).}[/tex]
Sabendo-se que [tex]\Delta(2)=-1[/tex], calcule o valor de [tex]\Delta(1)[/tex], [tex]\Delta(7)[/tex] e [tex]\Delta(15)[/tex].

Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 29, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!

Bons estudos, pessoal!

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6 comentários

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  1. Muito divertida!

    Pela segunda propriedade:

    [tex]\Delta(2)=\Delta(2\cdot1)=\Delta(2)\cdot\Delta(1)\therefore \Delta(1)=\dfrac{-2}{-2}=1[/tex]

    Novamente, pela segunda propriedade:

    [tex]\Delta(4)=\Delta(2\cdot2)=\Delta(2)\Delta(2)=1[/tex]

    Pela primeira propriedade:

    [tex]\Delta(15)=\Delta(4+11)=\Delta(4)=1[/tex]

    Por fim, aplicando as propriedades múltiplas vezes:

    [tex]\Delta(7)=\dfrac{\Delta(14)}{\Delta(2)}=-\Delta(14)=-\Delta(25)=-(\Delta(5))^2=-(\Delta(16))^2=-((\Delta(4))^2)^2=-1[/tex]

  2. Parabéns Koreil Guys. A solução está correta.

  3. Definimos as propriedades:

    [i][b]( I )[/b][/i] [tex]\Delta(n+11) = \Delta(n)[/tex]
    [b][i]( II )[/i][/b][tex]\Delta(n \cdot m) = \Delta(n) \cdot \Delta(m)[/tex]

    [b][i]1.[/i][/b] [tex] \Delta(15)[/tex]

    Perceba que, [tex]15[/tex] pode ser escrito como [tex]11 + 4[/tex]. Por [b]( I )[/b], [tex]\Delta(15)[/tex] pode ser escrito como [tex]\Delta(4)[/tex], e por fim, utilizando [b]( II )[/b], definimos [tex]\Delta(4) = \Delta(2) \cdot \Delta(2) \Rightarrow \Delta(4) = (-1) \cdot (-1) \therefore \Delta(4) = 1[/tex]. Portanto, [tex]\Delta(15) = 1[/tex].

    [b][i]2.[/i][/b] [tex]\Delta(7)[/tex]

    Manipulando [tex]\Delta(14)[/tex], podemos adquirir alguns resultados importantes, como [tex]\Delta(3 + 11) = \Delta(3)[/tex] e [tex]\Delta(14) = \Delta(7) \cdot \Delta(2)[/tex]. Note que, conseguimos uma importante igualdade: [tex]\Delta(3) = (-1) \cdot \Delta(7)[/tex], a qual “guardaremos” para definir o valor de [tex]\Delta(3)[/tex]. Perceba que [tex]\Delta(7)[/tex] pode ser definida como [tex]\Delta(18)[/tex], pois [tex]18 = 11 + 7[/tex], e [b]( I )[/b] nos permite isso. Sendo assim, definimos [tex]\Delta(18) = \Delta(6) \cdot \Delta(3) \Rightarrow \Delta(18) = \Delta(3) \cdot \Delta(2) \cdot \Delta(3)[/tex]. Essa expressão é igual a [tex]\Delta(7)[/tex].

    Temos então, as seguintes igualdades:

    [tex]\Delta(3) = (-1) \cdot \Delta(7) \Rightarrow \Delta(3) = -\Delta(7)[/tex]
    [tex]\Delta(7) = \Delta(3) \cdot \Delta(3) \cdot (-1) \Rightarrow \Delta(7) = -(\Delta(3)^2)[/tex]

    Logo:

    [tex]\Delta(3) = (-1)^2 \cdot \Delta(3)^2 \Rightarrow \Delta(3) = \Delta(3)^2[/tex]

    Dividindo ambos os lados por [tex]\Delta(3)[/tex], chegamos que [tex]\Delta(3) = 1[/tex]. Como [tex]\Delta(7) = -(\Delta(3)^2)[/tex], concluimos que, [tex]\Delta(7) = -1[/tex].

    [b][i]3.[/i][/b] [tex]\Delta(1)[/tex]

    [tex]\Delta(1)[/tex] pode ser escrito como [tex]\Delta(12)[/tex], por [b]( I )[/b], que pode ser escrito como [tex]\Delta(3) \cdot \Delta(2)^2[/tex], por [b]( II )[/b], portanto:

    [tex]\Delta(1) = \Delta(3) \cdot \Delta(2)^2 \Rightarrow \Delta(1) = 1 \cdot (-1)^2 \therefore \Delta(1) = 1[/tex]

    1. Parabéns Potências de Euler! A solução está correta. Interessante observar que em algum momento na prova foi efetuada uma divisão por [tex]\Delta(3)[/tex] e seria interessante garantir primeiro que [tex]\Delta(3)\neq 0[/tex].

  4. Temos que, pela segunda propriedade:

    Δ2 = Δ(2 x 1) = Δ2 x Δ1. Então, Δ2 / Δ2 = Δ1 . portanto, Δ1 = -2/-2 = 1.

    Usando a primeira propriedade, temo que:

    Δ15 = Δ(4+11)

    Utilizando a segunda propriedade de novo:

    Δ4 = Δ(2 x 2) = (-1) x (-1) = 1.

    Então, Δ15 = 1.

    para finalizar, aplicando as propriedades diversas vezes:

    Δ7 = Δ14/Δ2 = Δ14/ -1 = -Δ14 = -(Δ(5))^2 = -(Δ(4^2))^2 = -Δ4 = -1.

    então:

    Δ1 = 1
    Δ7 = -1
    Δ15 = 1

  5. Parabéns Obmépicos, a solução está correta.

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