set 23

Uma sequência interessante

PROBLEMA

Considere a sequência de números naturais com fórmula para o termo geral dada por [tex]a_n=2^ n+(-1)^n[/tex]. Alguns termos desta sequência são:
[tex]\qquad{1, 5, 7, 17, 31, 65, 127, 257, \dots}[/tex]
Uma curiosidade interessante é que, com exceção do [tex]1[/tex] e [tex]65[/tex], todos estes termos iniciais são números primos. Entretanto, esta sequência apresenta também muitos números compostos. Prove que existem infinitos termos múltiplos de [tex]5[/tex].

Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 26, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!

Bons estudos, pessoal!

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2 comentários

  1. Primeiro, veja que:
    [list]
    [*][tex]2^{0}\equiv 1\pmod{5}[/tex];
    [*][tex]2^{1}\equiv 2\pmod{5}[/tex];
    [*] [tex]2^{2}\equiv -1\pmod{5}[/tex];
    [*][tex]2^{3}\equiv -2\pmod{5}[/tex];
    [*][tex]2^{4}\equiv 1\pmod{5}.[/tex]
    [/list]Assim, percebe-se que, quando [tex]n, \lin \mathbb{N}[/tex], temos:
    [list]
    [*] [tex]2^{4n}\equiv 1\pmod{5}[/tex];
    [*][tex]2^{4n+1}\equiv 2\pmod{5}[/tex];
    [*][tex]2^{4n+2}\equiv -1\pmod{5}[/tex];
    [*][tex]2^{4n+3}\equiv -2 \pmod{5}[/tex].
    [/list]Portanto, o termo [tex]a_{4n+2}[/tex] é sempre divisível por 5, pois [tex]1^{4n+2}=1[/tex], logo, [tex]2^{4n+2}+(-1)^{4n+2}\equiv -1+1=0\pmod{5}[/tex] e como n pode assumir qualquer valor natural, há infinitos termos múltiplos de 5.

    1. Parabéns equipe OBM é muito fácil! A solução está correta.

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