Sistema não linear

Assim que batemos o olho na questão, já imaginamos: Ternos Pitagóricos. Isso tornou simples conferir o final!! \o
Remando contra o método de tentativas e erros:
1. Utiliza-se a identidade da soma e produto de raízes do Girard:

onde t^2 – (x+y)^t + xy = 0
como xy = 12, temos
t^2 – (x+y)^t + 12 = 0
onde (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy
(x^y)^2 = 25 + 24 = 49
ou seja
x+y = ±7

Caso 1: x+ y = 7
A equação quadrática seria t^2 – 7t + 12 = 0
onde t = 4 ou t = 3 e vice versa
o par (x,y) seria (4,3);(3,4)
Caso 2 é análogo para x + y = -7.
(x,y) = (-4,-3);(-3,-4)

Assim, os valores de (x,y) nos conjuntos dos reais é (4,3);(3,4);(-4,-3);(-3,-4) :D

Primeiramente para resolver esta questão nós podemos reescrever a primeira equação desta maneira:
[tex](x + y)^2 – 2xy = 25[/tex]
Após isso, podemos utilizar uma das informações que foi nos fornecido, que é [tex]xy = 12[/tex], resolvendo a equação desta maneira temos:
[tex](x + y)^2 – 24 = 25[/tex]
[tex](x + y)^2 = 49[/tex]
[tex]x + y = \pm 7[/tex]
A partir deste resultado temos duas maneiras de resolver esta questão.

[b]Caso 1: Triângulo pitagórico[/b]

Utilizando as propriedades de um triângulo pitagórico que é [tex]c^2 = a^2 + b^2[/tex], tendo [tex]a[/tex] proporcional a [tex]3[/tex], [tex]b[/tex] proporcional a [tex]4[/tex], e [tex]c[/tex] proporcional a 5, podemos deduzir que os valores adequados para [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex], seria [tex]3[/tex] e [tex]4[/tex], com [tex]x = 3[/tex] quando [tex]y = 4[/tex], e vice-versa. Mas, como estamos considerando que [tex]x + y = \pm 7[/tex], temos que considerar a possibilidade de ambos serem negativos, resultando em [tex]-3[/tex] e [tex]-4[/tex], o que iria satisfazer o sistema de equação proposto anteriormente. Sendo assim temos os possíveis valores para eles: [tex]\{3,4\}, \{4,3\}, \{-3,-4\}[/tex] e [tex]\{-4,-3\}[/tex].

[b]Caso 2: Soma e produto[/b]

Para este caso podemos utilizar as informações anteriormente encontradas, sendo elas a soma e produto de [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex], para, algebricamente, criar uma Equação de [tex]2°Grau[/tex], do tipo [tex]ax^2 + bx + c[/tex], assim podendo encontrar os possíveis valores de [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] a partir dela. Portanto iremos utilizar a seguinte lógica:
[tex]x + y = \pm 7 = b[/tex]
[tex]xy = 12 = c[/tex]
[tex]a = 1[/tex]

Como [tex]x + y = \pm 7[/tex], podemos criar duas equações, sendo a primeira: [tex]x^2 + 7x + 12[/tex], podendo resolvê-la com a fórmula de Bhaskara. Sendo:
[tex]\triangle = 7^2 – 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 – 48 = 1[/tex]
[tex]x =( -7 \pm \sqrt 1) \over 2 \cdot 1[/tex]
[tex]x'[/tex] =[tex] -7 + 1 \over 2[/tex] = [tex]-6 \over 2[/tex] =[tex] -3[/tex]
[tex]x” [/tex]= [tex]-7 – 1 \over 2[/tex] = [tex]-8 \over 2[/tex] = [tex]-4[/tex]

e a segunda sendo:
[tex]x^2 – 7x + 12[/tex]

Ao resolvermos ela teremos os resultados [tex]3[/tex] e [tex]4[/tex], assim chegamos a mesma conclusão do caso anterior, que os possíveis valores para [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] serão: [tex]\{3,4\}, \{4,3\}, \{-3,-4\}[/tex] e [tex]\{-4,-3\}[/tex].

Primeiramente, é possível enxergar que estamos lidando com algo muito próximo de um sistema envolvendo quadrados perfeitos, portanto, começaremos somando as duas igualdades:
$$
(x^2 + y^2) + (xy) = 25 + 12 \Rightarrow x^2 + xy + y^2 = 37
$$
Agora, somando [tex]xy[/tex] de ambos os lados (sabendo que [tex]xy = 12[/tex], somamos [tex]12[/tex] no lado direito da equação), podemos transformar o lado esquerdo em um produto notável, e prosseguir:
$$
x^2 + 2xy + y^2 = 37 + 12 \Rightarrow (x + y)^2 = 49 \Rightarrow x + y = \pm 7
$$
Agora que sabemos que a soma [tex]x+y[/tex] vale [tex]7[/tex] ou [tex]-7[/tex], fica mais fácil de pensarmos nas soluções possível: quais números resultam em [tex]7[/tex] ou [tex]-7[/tex] quando somados, e em [tex]12[/tex] quando multiplicados? Semelhante a resolver uma equação de segundo grau pelo produto de Stevin (soma e produto), rapidamente encontramos os valores [tex]3[/tex] e [tex]4[/tex]. Porém, como sua soma também pode ser negativa, além de um produto positivo, não excluímos a possibilidade destes serem iguais a [tex]-3[/tex] e [tex]-4[/tex]. Portanto, o conjunto de soluções [tex](x,y)[/tex] deste sistema é [tex]\{ (3,4), (4,3), (-3,-4),(-4,-3) \}[/tex]

Outra maneira de resolver:

Podemos substituir [tex]y = \frac{12}{x}[/tex] na primeira equação, o que nos resultaria em:

$$
x^2 + y^2 = 25 \Rightarrow x^2 + (\frac{12}{x})^2 = 25 \Rightarrow \frac{x^4 + 144}{x^2} = 25 \Rightarrow x^4 + 144 = 25 x^2 \Rightarrow x^4 – 25x^2 + 144 = 0
$$

Perceba que, chegamos em uma equação do segundo grau em [tex]x^2[/tex]. Por praticidade, vamos considerar a incógnita [tex]z = x^2[/tex], o que nos resulta na equação [tex]z^2 – 25z + 144 = 0[/tex]. Agora, fica mais fácil de aplicarmos Bhaskara:

$$
z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \Rightarrow z = \frac{25 \pm \sqrt{(-25)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 144}}{2} \Rightarrow \ z = \frac{25 \pm \sqrt{49}}{2} \therefore z = \frac{25 \pm 7}{2}
$$

Calculando as duas raízes, chegamos em [tex]z’ = 16[/tex] e [tex]z” = 9[/tex]. Agora, substituindo novamente [tex]z[/tex] por [tex]x^2[/tex], temos:

$$
x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4
$$$$
x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3
$$

Analisando caso a caso, lembrando que [tex]xy = +12[/tex], novamente, chegamos as seguintes soluções [tex](x,y)[/tex]: [tex]\{(4, 3),(-4,-3),(3,4),(-3,-4)\}[/tex] :D