PROBLEMA
Determinada bactéria geneticamente modificada tem o poder de se proliferar de acordo com o comportamento da função [tex]P(t)=P_0\cdot e^{kt}[/tex], sendo [tex]P_0[/tex] a quantidade inicial de bactérias, [tex]k[/tex] uma constante de crescimento e [tex]t[/tex] a quantidade de dias a partir do dia da observação inicial. Cientistas estudiosos desse tipo de bactéria, verificaram que a cada 8 dias seguidos a quantidade de bactérias dobra. Qual o valor de [tex]k[/tex]?
Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 19, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas da Semana: Dicas, Orientações e Dúvidas. do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 19, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas da Semana: Dicas, Orientações e Dúvidas. do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!
Bons estudos, pessoal!
6 comentários
Pular para o formulário de comentário
Para encontrar o valor da constante de crescimento \( k \), usaremos a informação de que a quantidade de bactérias dobra a cada 8 dias.
A função de crescimento da bactéria é dada por:
\[ P(t) = P_0 \cdot e^{kt} \]
onde:
– \( P_0 \) é a quantidade inicial de bactérias,
– \( k \) é a constante de crescimento,
– \( t \) é o número de dias após o início da observação.
Se a quantidade de bactérias dobra a cada 8 dias, então, ao final de 8 dias, a quantidade de bactérias deve ser o dobro da quantidade inicial. Ou seja:
\[ P(8) = 2P_0 \]
Substituindo \( t = 8 \) na função de crescimento:
\[ P(8) = P_0 \cdot e^{k \cdot 8} \]
Como sabemos que \( P(8) = 2P_0 \):
\[ P_0 \cdot e^{k \cdot 8} = 2P_0 \]
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por \( P_0 \):
\[ e^{k \cdot 8} = 2 \]
Agora, para encontrar \( k \), tomamos o logaritmo natural (ln) de ambos os lados:
\[ \ln(e^{k \cdot 8}) = \ln(2) \]
Usando a propriedade dos logaritmos que diz que \( \ln(e^x) = x \):
\[ k \cdot 8 = \ln(2) \]
Finalmente, resolvemos para \( k \):
\[ k = \frac{\ln(2)}{8} \]
Portanto, o valor da constante de crescimento \( k \) é:
\[ k = \frac{\ln(2)}{8} \]
\[
\frac{d}{dx}[\ln(2)] = 0
\]
Autor
A parte final, que vocês derivaram, não teve nenhum sentido.
Quanto ao mais, tudo ok.
A princípio, dado uma quantidade inicial [tex]P_0[/tex], sabemos que [tex]P(0) = P_0[/tex]. Se após oito dias esta quantidade dobra, então [tex]P(8) = 2 \cdot P(0)[/tex] ; [tex]P(16) = 2 \cdot P(8)[/tex] ; [tex]P(24) = 2 \cdot P(16)[/tex] ; assim por diante. Como estamos lidando com coeficientes constantes (menos [tex]t[/tex]), calcular apenas um destes casos já será suficiente para encontrarmos seus valores. Partindo para a solução, se [tex]P(0) = P_0[/tex], e [tex]P(8) = 2 \cdot P(0)[/tex], podemos prosseguir da seguinte maneira:
$$
P(8) = 2 \cdot P(0) \Rightarrow P_0 \cdot e^{8k} = 2 \cdot P_0 \Rightarrow e^{8k} = 2 \Rightarrow \log_{e}{2} = 8k \therefore k = \frac{\log_{e}{2}}{8}
$$
Como estamos trabalhando com um logaritmo de base [tex]e[/tex], isto é, estamos lidando com um logaritmo natural (ou neperiano), podemos substituí-lo apenas por [tex]ln[/tex]. Portanto, concluímos que:
$$
k = \frac{ln\ 2}{8}
$$
Autor
Parabéns companheiros!
De acordo com a questão, temos os seguintes valores (t=8 e P(0) = 2Po) que ao serem postos em prática, obtêm-se:
P(t) = Po . e^(kt)
2Po = Po . e^(k8)
2 = e^k8
Observa-se que há a possibilidade de usar logaritmo natural, uma vez que ln(e) = 1, assim eliminamos o “e” da equação:
ln (2) = ln(e^k8)
ln(2) = k8 . ln(e)
ln(2) = k8. 1
ln(2)/8 = k
Portanto, o valor de k = ln(2)/8
Autor
Show gente!