Infinitas potências

Temos, pelo termo geral da PA, que os elementos dessa sequência são dados por [tex]a_n = 7n – 6[/tex]. Procuramos números da sequência que sejam potências de 2, ou seja, [tex]7n – 6 = 2^k[/tex].
Temos que, rearrumando a igualdade, [tex]n = \frac{2^k + 6}{7}[/tex]. Como [tex]n[/tex] é um número natural, [tex]2^k + 6[/tex] deve ser um número divisível por 7, o que ocorre quando a potência de 2 deixa resto 1 na divisão por 7. (Vejamos que se [tex]2^k = 7q+1[/tex], então [tex]\frac{2^k +6}{7} = \frac{7q+1+6}{7} = \frac{7q+7}{7} = q+1[/tex].)
Então, analisando os restos das potências de 2 quando divididas por 7, temos:
[tex]2^1 \equiv 2 \; \mbox{mod} \; 7.[/tex]
[tex]2^2 \equiv 2 \cdot 2 \equiv 4 \; \mbox{mod} \; 7.[/tex]
[tex]2^3 \equiv 4 \cdot 2 \equiv 1 \; \mbox{mod} \; 7.[/tex]
[tex]2^4 \equiv 1 \cdot 2 \equiv 2 \; \mbox{mod} \; 7.[/tex]
Assim sucessivamente. Podemos observar que
[tex]2^k \equiv 1 \; \mbox{mod} \; 7 \; \mbox{para} \; k \equiv 0 \; \mbox{mod} \; 3.[/tex]
Desse modo, podemos escrever [tex]n = \frac{2^k + 6}{7} = \frac{2^{3m}+6}{7}[/tex], sendo m qualquer número natural, com a garantia de que n também é um número natural.
Como m pode assumir infinitos valores naturais, concluímos que há infinitos valores de n, ou seja, há infinitos termos da PA que são potências de 2

Vemos facilmente que o número [tex]2^3[/tex] pertence à PA, e daí, vemos que o número [tex]2^6[/tex] também pertence, mas por que isso acontece? Isso acontece porque [tex]2^6[/tex] é igual a [tex]2^{3}\cdot2^{3}[/tex] que também é dado por [tex]2^{3}+7\cdot2^{3}[/tex], o que mostra que a diferença entre 64 e 8 é múltipla de 7, algo que garante que 64 pertencerá à sequência, da mesma forma que, se [tex]2^{n}[/tex] é um número da sequência, temos que [tex]2^{n+3}[/tex] também deverá ser pois a diferença entre os valores é [tex]7\cdot2^{n}[/tex] que é múltipla de 7, logo, todas as potências na forma [tex]2^{3n}[/tex], onde n é natural, pertencem a sequência.