PROBLEMA
Em uma conferência acadêmica, há 12 palestrantes, dos quais 8 são especialistas em matemática, 7 são especialistas em física e exatamente 3 são especialistas em matemática e física. A conferência irá selecionar alguns palestrantes para uma mesa redonda, e as seguintes condições devem ser atendidas:
- A mesa redonda deve ter 3 especialistas em matemática e 3 especialistas em física.
- Entre os palestrantes deve haver pelo menos 1 que é especialista em matemática e física.
Quantas diferentes mesas redondas podem ser formadas, respeitando essas condições?
Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 12, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas da Semana: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 12, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas da Semana: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum.
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Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!
Bons estudos, pessoal!
8 comentários
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Imaginamos que cada palestrante seja representado por uma letra. Os especialistas em Matemática poderiam ser representados por M1, M2, …, M8, os de Física por F1, F2, …, F7 e os que dominam ambas as áreas por MF1, MF2, MF3. A seguir, detalharemos passo a passo como chegamos à solução para o problema apresentado.
Dividiremos o problema em 3 casos, de acordo com a quantidade de especialistas em matemática e física ao mesmo tempo. Pelo diagrama de Venn, nota-se que dentre os 8 que são especialistas em matemática, 3 são ao mesmo tempo, especialistas em física, assim, temos 8 – 3 = 5 especialistas somente em matemática; Algo que se espelha nos especialistas de física, onde teremos 7 – 3 = 4.
# Caso 1: Temos apenas o MF1:
C3,1 = 3, Pois dentre os 3 MFs escolheremos 1.
C5,2 = 10 (para matemática, temos 8-3 = 5 que são especialistas somente em matemática, e queremos escolher dois, pois já temos um especialista em matemática. Para os de física faremos 7-3 = 4, C4,2 = 6 pelo mesmo motivo. Totalizando 3 * 10 * 6 = 180
# Caso 2: Analogamente, temos MF1, MF2
C3,2 * C5,1 * C4,1 = 3*5*4 = 60
# Caso 3: Temos MF1,MF2,MF3
C3,3 = 1, contaria aqui, os especialistas em matemática e física também. Assim:
Totalizando 180 + 60 + 1 = 241 mesas redondas
Autor
Muito bem, pessoal.
Iniciando a analise pela segunda condição, vemos que podemos dividir o problema em 3 casos: a mesa sendo composta por um especialista em matemática e física, ou sendo composta por 2 especialistas em física e matemática ou sendo composta por 3 especialistas em física e matemática. Analisando os 3 casos temos:
1º caso:
Havendo um especialista em física e matemática, devemos ter dois especialistas em matemática e dois em física. Podemos montar uma mesa com essas caracteristicas da seguinte maneira: a quantidade de possibilidades de escolha do especialista nas duas áreas é dada pela combinação de 3 elementos escolhendo 1 (C3,1), ou seja, 3 possibilidades, do mesmo modo, a quantidade de possibilidades de escolha dos especialistas em matemática é 10 (C5,2), e a quantidade de possibilidades de escolha dos especialistas em física é 6 (C4,2). Desse modo há 180 (3x10x6) modos de compor uma mesa redonda com essas características.
2º caso:
Havendo dois especialistas em física e matemática, devemos ter um especialista em matemática e um em física. Podemos montar uma mesa com essas caracteristicas da seguinte maneira: a quantidade de possibilidades de escolha dos especialistas nas duas áreas é dada pela combinação de 3 elementos escolhendo 2 (C3,2), ou seja, 3 possibilidades, do mesmo modo, a quantidade de possibilidades de escolha do especialista em matemática é 5 (C5,1), e a quantidade de possibilidades de escolha do especialista em física é 4 (C4,1). Desse modo há 60 (3x5x4) modos de compor uma mesa redonda com essas características.
3º caso:
Havendo três especialistas em física e matemática, a primeira condição já está satisfeita e assim a quantidade de possibilidades de escolha dos especialistas nas duas áreas é dada pela combinação de 3 elementos escolhendo 3 (C3,3), ou seja, 1 possibilidade.
Agora, o total de possibilidades é dado pela soma dos 3 casos, 180+60+1 = 241. Então temos 241 diferentes mesas redondas podendo ser formadas, respeitando as condições do problema.
Autor
Como vocês sabem que existem 5 palestrantes que são especialistas apenas em matemática e 4 palestrantes que são palestrantes apenas em física? Vocês usaram essa informação, mas não justificaram como encontraram. Poderiam refazer a resolução com esses acréscimos?
Acabamos esquecendo de comentar, usamos o diagrama de Venn com dois círculos, na intersecção colocamos os 3 especialistas nas duas áreas, depois na parte que corresponde aos especialista só em matemática colocamos 5, os 8 especialistas em matemática menos os 3 especialistas nas duas áreas, e fizemos um processo análogo na parte que corresponde aos especialistas só em física (7-3=4).
Autor
Muito bem!
Para resolver este problema é nescessário saber quais professores são especialistas exclusivamente em uma área ; chamando os professores de matemática de M, o de física de F e os de matemática e física de MF| MF esta contido tanto em M quanto em F.
Logo tem se;
M={8-3=5}
F={7-3+4}
MF={3}
Para a formação das mesas, existe a seguinte regra; deve haver no minimo 1 professor de matemática e física, e tem de haver um total de 3 professores de matemática e 3 de física.
Agora sabendo cada conjunto e das regras da formação das mesas, conclui se que apenas dois modelos de mesa podem ser seguidos= 2M,2F e 1MF. Assim, tenho 2 professores de física, 2 de matemática, e um professor de ambas, totalizando 3 professores e cada área.
E 1M, 1F e 2MF, seguindo o raciocínio anterior, totaliza 3 professores para cada área.
Autor
Pessoal, infelizmente a solução de vocês está incorreta. O que acham de dar uma passadinha no Fórum, ver a dica de resolução que foi colocada lá e depois tentar resolver o problema novamente? Vocês podem responder no Fórum mesmo, se acharem melhor.