PROBLEMA
Considere um número [tex]a[/tex], tal que [tex]a+\dfrac{2}{a}=2[/tex]. Determine o valor de [tex]a^3+\dfrac{8}{a^3}[/tex].
Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 15, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas da Semana: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!
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Bons estudos, pessoal!
6 comentários
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[tex]\left(a+\dfrac{2}{a}\right)^2=2^2\therefore a^2+4+\dfrac{4}{a^2}=4 \therefore a^2+\dfrac{4}{a^2}=0[/tex]
Utilizando o produto notável soma de cubos:
[tex]a^3+\dfrac{8}{a^3}=\left(a+\dfrac{2}{a}\right)\left(a^2-2+\dfrac{4}{a^2}\right)=2\cdot(-2)=-4[/tex]
Autor
Muito bem, Koreil Guys.
Em uma primeira tentativa, percebemos que este é um bom problema para trabalhar não somente produtos notáveis, mas também uma “pitada” de números complexos, que é um conteúdo interessante mas infelizmente não é tão trabalhado. Então, vai uma solução usando a base de números complexos e um pouco de criatividade :D
Utilizando um pouco de manipulações algébricas, podemos transformar a primeira expressão da seguinte maneira:
[tex]a + \frac{2}{a} = 2 \Rightarrow \frac{(a + \frac{2}{a})}{2} = \frac{2}{2} \Rightarrow \frac{a}{2} + \frac{1}{a} = 1 \Rightarrow \frac{a^2 + 2}{2a} = 1[/tex]
Com isso, podemos partir com o objetivo de encontrar, primeiramente, o valor de [tex]a[/tex]:
[tex]\frac{a^2 + 2}{2a} = 1 \Rightarrow a^2 + 2 = 2a \Rightarrow a^2 -2a + 2 = 0 [/tex]
Retirando [tex]1[/tex] de ambos os lados…
[tex] a^2 – 2a + 1 = -1 \Rightarrow (a-1)^2 = -1 \Rightarrow a-1 = \pm \sqrt{-1} \Rightarrow a – 1 = \pm i \therefore a = 1 \pm i[/tex]
Como é extremamente simples trabalhar com potências de [tex]1[/tex] e de [tex]i[/tex], não teremos nenhum grande problema ao utilizar [tex]a = i + 1[/tex] na expressão que queremos descobrir ([tex]a^3 + \frac{8}{a^3}[/tex]), portanto, podemos prosseguir: utilizando [tex]a = (i+1)[/tex], e sabendo que [tex](i + 1)^3 = i^3 + 3i^2 + 3i + 1 \Rightarrow -i -3 + 3i + 1 \Rightarrow 2i-2 \Rightarrow 2(i-1) [/tex], e que [tex](i-1)^2 = i^2 – 2i + 1 \Rightarrow -1 -2i + 1 \Rightarrow -2i[/tex] (usaremos adiante), podemos prosseguir:
[tex](i + 1)^3 + \frac{8}{(i +1)^3} \Rightarrow 2(i-1) + \frac{8}{2(i-1)} \Rightarrow \frac{2(i-1)}{1} + \frac{4}{(i-1)} \Rightarrow \frac{2(i-1)^2 + 4}{(i-1)} \Rightarrow \frac{2 \cdot (-2i) + 4}{(i-1)}[/tex]
E por fim…
[tex]\frac{2 \cdot (-2i) + 4}{(i-1)} \Rightarrow \frac{-4i + 4}{(i-1)} \Rightarrow \frac{-4 \cdot (i-1)}{(i-1)} \Rightarrow \frac{-4 \cdot \cancel{(i-1)}}{\cancel{(i-1)}} \Rightarrow -4 \therefore a^3 + \frac{8}{a^3} = -4[/tex]
Uma solução um pouco longa, mas que nos mostra mais uma vez, como podem existir diversos caminhos para um único problema :D (Tanto que, se considerarmos [tex]a = 1-i[/tex], chegamos no mesmo resultado!)
Autor
Caros, a solução está correta, mas algumas observações são importantes:
É importante tomar cuidado com a escrita, pois observem que, nas expressões abaixo, em vez de implicações, deveriam ser igualdades. Correto?
Outra observação: será que se usássemos [tex]a = 1-i[/tex], realmente chegaríamos ao mesmo valor? Bom, é importante provar isso, já que vocês optaram pela resolução utilizando números complexos.
Como falei, a solução final está correta, mas a resolução não está 100%. O que acham de ler a dica no Fórum e tentar resolver o problema sem utilizar números complexos?
Entendido! vai uma outra resolução, utilizando apenas produtos notáveis:
Primeiramente, repare que, [tex]\frac{8}{a^3} = (\frac{2}{a})^3[/tex], portanto, podemos reescrever [tex](a^3 + \frac{8}{a^3})[/tex] como [tex](a^3 + (\frac{a}{2})^3)[/tex]. Repare que, temos termos elevados ao cubo, portanto, podemos utilizar o produto [tex](a+b)^3[/tex], considerando [tex]b = \frac{2}{a}[/tex]:
$$
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \Rightarrow (a+\frac{a}{2})^3 = a^3 + (3 \cdot a^2 \cdot \frac{2}{a}) + (3 \cdot a \cdot \frac{4}{a^2}) + \frac{8}{a^3}
$$
Podemos subtrair os termos [tex](3 \cdot a^2 \cdot \frac{2}{a} = 6a)[/tex] e [tex](3 \cdot a \cdot \frac{4}{a^2} = \frac{12}{a})[/tex] de ambos os lados da igualdade, o que nos resulta em:
$$
a^3 + \frac{8}{a^3} = (a+ \frac{2}{a})^3 – (6a + \frac{12}{a})
$$
Perceba que, [tex](6a + \frac{12}{a}) = 6(a + \frac{2}{a})[/tex]. Portanto, temos:
$$
a^3 + \frac{8}{a^3} = (a+\frac{2}{a})^3 – 6(a + \frac{2}{a})
$$
Como nós já sabemos que [tex]a + \frac{2}{a} = 2[/tex], podemos substituir os valores na igualdade acima:
$$
a^3 + \frac{8}{a} = (2)^3 – (6 \cdot 2) \Rightarrow a^3 + \frac{8}{a} = 8 – 12 \therefore a^3 + \frac{8}{a^3} = -4
$$
Assim, concluímos que [tex]a^3 + \frac{8}{a^3} = -4[/tex] :D
Autor
Perfeito! :)