Problemão: Mais soluções inteiras

Boa tarde! Já postamos nossa solução no fórum, mas, considerando que alguns visitantes não tem acesso a essa plataforma, vamos postá-la aqui.

[tex](xy-7)^2=x^2+y^2\therefore(xy)^2-14xy+49=x^2+y^2\therefore(xy)^2-12xy+49=x^2+2x+y^2[/tex]

[tex](xy)^2-12xy+49=(x+y)^2\therefore[(xy)^2-12xy+36]+13=(x+y)^2\therefore(xy-6)^2+13=(x+y)^2[/tex]

[tex]13=(x+y)^2-(xy-6)^2\therefore 13=(x+y+xy-6)(x+y-xy+6)[/tex]

Como 13 é primo e x,y são inteiros, então os possíveis valores para o produto [tex](x+y+xy-6)(x+y-xy+6)[/tex] são +/- 1 e +/-13.

Logo, para encontrar todos os possíveis pares x,y de inteiros que satisfazem esse produto, deve-se verificar os possíveis casos [tex](x+y+xy-6=1[/tex] ou [tex]-1[/tex] ou [tex]13[/tex] ou [tex]-13)[/tex].

Testando para cada caso, chegamos aos seguintes possíveis pares x,y: [tex]S=\{(0,7);(7,0);(-7,0);(0,-7);(3,4);(4,3);(-4,-3);(-3,-4)\}[/tex]

(obs: no fórum colocamos o desenvolvimento de cada um dos casos, porém aqui deixamos como sugestão para que outro clube tente resolvê-los! Alguns envolvem equações quadráticas, outros não).