jul 22

Deficiência de Fósforo

PROBLEMA

A deficiência de fósforo nos solos brasileiros se manifesta na baixa produtividade. Para reverter esse problema, uma equipe de agrônomos acompanhou a lavoura de um grupo de pequenos produtores, de modo a obter uma relação entre a produção [tex]S[/tex] de soja, em quilogramas por hectare [tex](kg/ha)[/tex], e a quantidade [tex]n[/tex] de [tex]P_2O_5[/tex] aplicada no solo, em [tex]kg/ha[/tex], e obteve a seguinte lei:

[tex]S(n)=900+24n-0,05n^2[/tex], com [tex]0\leq n\leq 300[/tex].

Segundo essa lei, qual a produção máxima de soja que pode ser obtida, associada à aplicação de [tex]P_2O_5[/tex] no solo?

Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 25, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas da Semana: Dicas, Orientações e Dúvidas. do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!

Bons estudos, pessoal!

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4 comentários

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  1. Pela fórmula de cordenadas do vértices do ponto máximo de uma parabola com concavidade para baixo: Xv = (-b) ÷ 2a.
    Temos, para a equação de segundo grau S(n) = 900 + 24n – 0,05n², que Xv = (-24) ÷ {2 × (-0,05)} ∴ Xv = 240.
    Ou seja, a quantidade necessária de Pentoxido de Fosforo (n), para que obtenha o maior valor de produto de soja (S), é de 240kg/ha

    1. Releiam o texto da questão . Será que a interpretação realmente se refere ao [tex]x_v[/tex]?

  2. A função dada para a produção de soja S(n) é uma função quadrática da forma [tex]ax^2 + bx + c[/tex], com [tex]a = -0,05[/tex], [tex]b = 24[/tex] e [tex]c = 900[/tex]:

    [tex]S (n) = 900 + 24n – 0,05n^2[/tex]

    Essa função representa uma parábola voltada para baixo (pois o coeficiente de [tex]a[/tex] é negativo), e a produção máxima de soja ocorre no vértice dessa parábola.

    Para encontrar o valor de [tex]n[/tex] que maximiza [tex]S(n)[/tex], podemos usar a fórmula do vértice para uma função quadrática, que é dada por:

    [tex]x_v = -b/2a[/tex]

    Substituindo [tex]b[/tex] e [tex]a[/tex], temos:

    [tex]n = \frac{-24}{2 \cdot (-0,05)}[/tex]
    [tex]n = 240[/tex]

    Portanto, a quantidade de [tex]P_2O_5[/tex] que maximiza a produção de soja é [tex]n = 240[/tex] [tex]kg/ha[/tex].

    Agora, aplicamos [tex]n = 240[/tex] na função [tex]S(n)[/tex] para obter a produção máxima:

    [tex]S(240) = 900 + 24 \cdot (240) – 0, 05 \cdot(240)^2[/tex]
    [tex]S (240) = 900 + 5760 – 0,05 \cdot 57600[/tex]
    [tex]S (240) = 900 + 5760 – 2880 = 3780[/tex] [tex]kg/ha[/tex]

    Portanto, a produção máxima de soja que pode ser obtida é de [tex]3780[/tex] [tex]kg/ha[/tex], associada à aplicação de [tex]240[/tex][tex] kg/ha[/tex] de [tex]P_2O_5[/tex] no solo.

    1. Joia.

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