Categoria: Álgebra e números reais

set 23

Uma sequência interessante

PROBLEMA Considere a sequência de números naturais com fórmula para o termo geral dada por [tex]a_n=2^ n+(-1)^n[/tex]. Alguns termos desta sequência são: [tex]\qquad{1, 5, 7, 17, 31, 65, 127, 257, \dots}[/tex] Uma curiosidade interessante é que, com exceção do [tex]1[/tex] e [tex]65[/tex], todos estes termos iniciais são números primos. Entretanto, esta sequência apresenta também muitos …

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set 09

Sistema não linear

PROBLEMA Considere o sistema de equações abaixo: [tex]\qquad \begin{cases}x^2+y^2=25\\ xy=12 \end{cases}.[/tex] Determine os valores de [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] no conjunto dos números reais. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 12, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas da Semana: Dicas, Orientações …

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ago 25

Operação ponto médio

PROBLEMA Dados os pontos [tex]P[/tex] e [tex]Q[/tex] do plano cartesiano com coordenadas [tex] (x_1, y_1)[/tex] e [tex](x_2, y_2)[/tex], respectivamente, a operação ponto médio [tex]\ast[/tex] calcula o ponto [tex]P\ast Q[/tex] com coordenadas [tex]\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)[/tex]. Mostre que, para quaisquer pontos [tex]P[/tex], [tex]Q[/tex] e [tex]R[/tex] do plano é válida a propriedade [tex]\qquad{P\ast(Q\ast R)=(P\ast Q)\ast(P\ast R),}[/tex] conhecida como autodistributividade. …

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ago 25

Uma tecla especial

PROBLEMA Marcos possui uma calculadora com uma tecla especial além de teclas para as funções convencionais como exponencial ([tex]Exp[/tex]), raiz quadrada ([tex]\sqrt{\ \ }[/tex]), etc. A tecla especial é a [tex]\Delta[/tex] que, para cada número natural, gera um número inteiro ao ser pressionada. A tecla [tex]\Delta[/tex] possui as seguintes propriedades: [tex]\qquad{(1) \Delta(n+11)=\Delta(n);}[/tex] [tex]\qquad{(2) \Delta(n\cdot m)=\Delta(n)\Delta …

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ago 11

Valor de expressão

PROBLEMA Considere um número [tex]a[/tex], tal que [tex]a+\dfrac{2}{a}=2[/tex]. Determine o valor de [tex]a^3+\dfrac{8}{a^3}[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 15, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas da Semana: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum. Lá vocês encontrarão Dicas e …

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