PROBLEMA Calcule o valor de [tex]4x+2y[/tex] sabendo que [tex]\sqrt{x+\sqrt{y}}+\sqrt{x-\sqrt{y}}=2[/tex] e [tex]\sqrt{y+\sqrt{x}}+\sqrt{y-\sqrt{x}}=1[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 17, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas da Semana: Dicas, Orientações e Dúvidas. do nosso Fórum. Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para …
Categoria: Álgebra e números reais
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set 30
Problema: Pares de inteiros
PROBLEMA Sejam [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] inteiros satisfazendo [tex]x + y \ne 0[/tex]. Encontre todos os pares [tex](x, y)[/tex] tais que: [tex]\dfrac{x^2+y^2}{x+y}=10[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 3, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas de 2024: Dicas, Orientações e Dúvidas …
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set 23
Entropia das senhas
PROBLEMA Um assunto muito importante nos dias atuais é a segurança de uma senha eletrônica. Em geral, uma senha é uma sequência de [tex]k[/tex] símbolos escolhidos de um conjunto contendo [tex]n[/tex] símbolos. A entropia de um sistema de senha desse formato é o número [tex]\qquad{E=\text{log}_2 (n^k)}[/tex]. Quanto maior for o valor de [tex]E[/tex] mais forte …
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set 23
Infinitas potências
PROBLEMA A sequência [tex]\qquad{1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50, 57, 64, 71, \dots}[/tex] é uma progressão aritmética com primeiro termo igual a [tex]1[/tex] e razão igual a [tex]7[/tex]. Observe que esta sequência apresenta alguns termos que são potências de [tex]2[/tex], como o [tex]8[/tex] e o [tex]64[/tex]. Mostre que existem, nessa progressão, infinitos termos …
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set 23
Uma sequência interessante
PROBLEMA Considere a sequência de números naturais com fórmula para o termo geral dada por [tex]a_n=2^ n+(-1)^n[/tex]. Alguns termos desta sequência são: [tex]\qquad{1, 5, 7, 17, 31, 65, 127, 257, \dots}[/tex] Uma curiosidade interessante é que, com exceção do [tex]1[/tex] e [tex]65[/tex], todos estes termos iniciais são números primos. Entretanto, esta sequência apresenta também muitos …
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