set 21

Maximizando um Envelope

PROBLEMA Em um envelope há [tex]5[/tex] cartões, cada um com um número inteiro positivo escrito. Sabe-se que: A soma de todos os [tex]5[/tex] números é [tex]20[/tex]; Existem mais números pares do que números ímpares entre os cartões; Todos os números são menores que [tex]10[/tex]. Qual é o maior valor que pode estar escrito em um …

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set 21

O Truque da Contagem Inversa

PROBLEMA Quantos são os números de cinco algarismos que possuem pelo menos um algarismo repetido? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Caso não consigam, não se preocupem. A partir do dia 24, próxima quinta-feira, visitem a Sala Problemas da Semana: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum. Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações …

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set 15

Fatores com multiplicidade

PROBLEMA Dado um número natural [tex]n[/tex] com fatoração prima [tex]n=p_1^{\alpha_1}\dots p_k^{\alpha_k}[/tex], o número de fatores com multiplicidade de [tex]n[/tex] é definido por [tex]\alpha_1+\dots +\alpha_k[/tex]. Por exemplo, o número de fatores com multiplicidade do número [tex]18=2\cdot 3^2[/tex] é [tex]3[/tex] já que a soma dos expoentes na fatoração é [tex]3[/tex]. No conjunto de [tex]\{1, 2, 3, \dots, …

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set 15

Encontre o número

PROBLEMA Encontre o menor número natural tal que: o resto de sua divisão por [tex]2[/tex] seja [tex]1[/tex], o resto de sua divisão por [tex]3[/tex] seja [tex]2[/tex], o resto de sua divisão por [tex]4[/tex] seja [tex]3[/tex] e o resto de sua divisão por [tex]5[/tex] seja [tex]4[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Caso não …

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set 15

Desigualdade

PROBLEMA Considere a sequência de números reais [tex](a_n)[/tex] em que o valor do termo de posição [tex]n[/tex] é dado pela fórmula [tex]\qquad{a_n=\left(1+\frac{1}{n} \right)^n.}[/tex] Mostre que, para qualquer número natural [tex]n[/tex], é válida a desigualdade [tex]\qquad{a_n\lt 3.}[/tex] Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Caso não consigam, não se preocupem. A partir do dia 17, …

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