mar 03

Problema: Uma sequência diferente

PROBLEMA

Considere a sequência de números reais [tex](1,4,5,8,9, \dots)[/tex]. A figura a seguir ilustra como podemos obter uma tal sequência. Dispõem-se todos os números naturais em duas fileiras, sendo que na primeira linha colocam-se os números [tex]1[/tex] e [tex]2[/tex], na segunda linha colocam-se os números [tex]3[/tex] e [tex]4[/tex], e assim por diante. A sequência é obtida tomando-se o primeiro número da primeira linha, o segundo da segunda linha, o primeiro da terceira linha, e assim por diante.

Calcule a soma dos primeiros [tex]100[/tex] termos desta sequência.

Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 6, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas de 2025: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!

Bons estudos, pessoal!

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2 comentários

  1. Podemos dividir a sequência em duas progressões, sendo elas:
    A={1, 5, 9, 13…, x}
    B={4, 8, 12, 16…, y}
    Então, precisamos encontrar a soma dos elementos de A e somar com a soma dos elementos de B, sendo que A tem todos os termos ímpares da sequência e B todos os pares, e ambos aumentam de 4 em 4..
    Sabe-se que a sequência tem 100 termos, sendo 100 um número par e o primeiro termo sendo ímpar, então sabemos que o último termo da sequência par. Portanto, o número de termos ímpares e pares é igual, 100/2=50, há 50 termos pares e 50 termos ímpares.
    n(A)=50 e n(B)=50, agora precisamos saber qual o último termo de cada para que seja possível somar os termos de cada uma e somar ambas.
    Para descobrir o 50º termo na progressão A:
    50º=1º+(n-1)r
    50º=1+(50-1)4
    50º=1+(49)4
    50º=1+196
    50º=197
    E a soma de seus termos:
    S(A)=[(1º+50º)n]/2
    S(A)=[(1+197)50]/2
    S(A)=[(198)50]/2
    S(A)=9900/2
    S(A)=4950
    Para descobrir o 50º termo na progressão B:
    50º=1º+(n-1)r
    50º=4+(50-1)4
    50º=4+(49)4
    50º=4+196
    50º=200
    E a soma de seus termos:
    S(B)=[(1º+50º)n]/2
    S(B)=[(4+200)50]/2
    S(B)=[(204)50]/2
    S(B)=10200/2
    S(B)=5100
    Agora basta somar os valores de cada soma:
    S(A)+S(B)=4950+5100=10050
    Logo, a soma dos 100 primeiros termos da sequência é 10050.

    1. Muito bom, Vila-Lobos.

      Solução correta!!!

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