Problemão: Equação infinita

PROBLEMA

Resolva a equação abaixo, sabendo que [tex]x\gt 1[/tex]:

[tex]\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{3}{x^3} +\dfrac{4}{x^4} +\dfrac{5}{x^5} + \dots = \dfrac{4}{9}[/tex].

Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Caso não consigam, não se preocupem. A partir do dia 11, próxima quinta-feira, visitem a Sala Problemas da Semana: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações que ajudam a resolver a questão e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Após resolverem o problema, compartilhem suas soluções no Fórum ou aqui no Blog, para que todos possam ter acesso a elas!

Bons estudos, pessoal!