PROBLEMA
Determine as constantes reais não nulas [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] para a função linear [tex]f(x)=ax+b[/tex], de modo que a seguinte condição seja satisfeita para todo [tex]x \in \mathbb{R}[/tex]: [tex]f(f(x)+b)=f(x)+b^2.[/tex]
Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Caso não consigam, não se preocupem. A partir do dia 12, próxima quinta-feira, visitem a Sala Problemas da Semana: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações que ajudam a resolver a questão e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Após resolverem o problema, compartilhem suas soluções no Fórum ou aqui no Blog, para que todos possam ter acesso a elas!
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Bons estudos, pessoal!
2 comentários
Em primeiro plano, temos [tex]f(x)+b^2=ax+b+b^2[\tex]. Ademais: [tex]f(f(x)+b)=a(f(x)+b)+b=a(ax+b+b)+b=a(ax+2b)+b=a^2x+2ab+b[\tex]. Por consequência obtemos: [tex]a^2x+2ab+b=ax+b+b^2 \to a^2x+2ab=ax+b^2 \to\begin{cases} a^2=a \to a^2-a=0 \to a_1=0 \text{não serve} a_2=1 \\ 2ab=b^2 \to 2b=b^2 \to b^2-2b=0 \to b_1=0 \text{não serve} b_2=2 \end{cases}[\tex]. Logo: [tex]f(x)=1x+2=x+2[\tex], por fim: [tex]f(f(x)+b)=f(f(x)+2)=x+2+2+2=x+2+4=f(x)+2^2.[\tex]
Autor
Muito bem! Não precisava chamar de b_1 e b_2, só “b” ficaria ainda melhor.