.Sala de Estudo: Probabilidades – Sala 2

Probabilidade Clássica


No século XIX, o matemático, físico e astrônomo francês Pierre Simon Laplace (1749-1827) foi o responsável pela estruturação de toda a Teoria das Probabilidades da época. Foi ele quem deu a primeira definição de probabilidade, hoje conhecida como "Definição Clássica de Probabilidade", publicada em num tratado designado por "Essai Philosophique sur les Probabilités" (Ensaio Filosófico sobre Probabilidade):
fração cujo numerador é o número de casos favoráveis e o denominador é o número de todos os casos possíveis.

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Laplace escreveu outro tratado sobre Probabilidade: "Théorie Analytique des Probabilités"(Teoria Analítica das Probabilidades).
Nessas duas obras, Laplace elaborou regras consistentes sobre as combinações das chances e mostrou como obter com exatidão as chances de se ganhar em um jogo de apostas, estimar tamanho de populações ou mortalidade, entre outras aplicações.
A definição de probabilidade dada por Laplace como sendo a razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis é adotada até os dias de hoje e será o tema central desta Sala.




Modelo Equiprobabilístico

Dentre as várias maneiras de se atribuir a eventos de experimentos aleatórios números que nos permitam analisá-los quantitativamente e, portanto, associar um grau de confiança aos resultados possíveis, a mais conhecida é a definição de probabilidade dada por Laplace. Essa definição é a forma mais antiga de se medir incertezas e foi desenvolvida basicamente para ser utilizada em jogos de azar.
Na Sala 1 fizemos uma primeira apresentação desse tipo de probabilidade e chegamos à fórmula de Laplace como consequência da aplicação de propriedades das funções probabilidade a espaços equiprováveis.
Nesta Sala, vamos fazer um caminho diferente. Como o objeto central da nossa discussão será associar a eventos igualmente prováveis a famosa razão entre o número de casos favoráveis e o número de todos os casos possíveis, vamos definir rigorosamente essa razão e mostrar que ela é, de fato, uma função probabilidade que pode ser definida em espaços amostrais finitos e equiprováveis.

Definição Clássica de Probabilidade – Probabilidade de Laplace

Suponha um experimento aleatório cujo espaço amostral [tex] \Omega[/tex] é finito e equiprovável, ou seja, [tex] \Omega[/tex] é formado por um número finito de resultados igualmente prováveis.
Se [tex]E[/tex] é um evento qualquer do espaço amostral [tex]\Omega[/tex], a probabilidade de o evento [tex]E[/tex] ocorrer, ou simplesmente a probabilidade do evento [tex]E[/tex], é definida como a razão entre o número de elementos de [tex]E[/tex] e o número de elementos de [tex] \Omega[/tex]. Em símbolos,

[tex] P(E)=\dfrac{n(E)}{n(\Omega)}[/tex],

sendo [tex]n(E)[/tex] o número de elementos do evento e [tex]n(\Omega)[/tex] o número de elementos do espaço amostral.
Informalmente, podemos dizer que, nessas condições, a probabilidade de um evento é o número de casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis:

Vamos, agora, mostrar que essa definição atende às três condições específicas de uma função probabilidade.

Propriedade fundamental


Suponha um experimento aleatório cujo espaço amostral [tex] \Omega[/tex] é finito e equiprovável.
A função que a cada evento [tex]E[/tex] do espaço amostral [tex]\Omega[/tex], associa o número [tex] P(E)[/tex] definido por:

[tex] P(E)=\dfrac{n(E)}{n(\Omega)}[/tex],

sendo [tex]n(E)[/tex] o número de elementos do evento e [tex]n(\Omega)[/tex] o número de elementos do espaço amostral, é uma função probabilidade.

Demonstração: Precisamos verificar as condições
[tex]\textcolor{#8b4513}{(i)}\; 0 \leq P(E) \leq 1[/tex], para todo [tex]E \subset \Omega[/tex];
[tex]\textcolor{#8b4513}{(ii)}\; P(\Omega) = 1[/tex];
[tex]\textcolor{#8b4513}{(iii)}\;[/tex] Se [tex]E_1[/tex] e [tex]E_2[/tex] são eventos de [tex]\Omega[/tex] mutuamente excludentes ([tex]E_1 \cap E_2=\emptyset[/tex]), então [tex]P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2)\,.[/tex]
Vamos lá:

[tex]\textcolor{#8b4513}{(i)}[/tex] Seja [tex]E [/tex] tal que [tex]E \subset \Omega\,.[/tex] Como [tex]\Omega[/tex] é finito e [tex]E \subset \Omega[/tex], segue que [tex]n(E) \leqslant n(\Omega)[/tex]. Por outro lado, a quantidade de elementos de um conjunto finito é um número natural não nulo, logo, [tex]n(E) \geqslant 0[/tex], e a própria definição [tex]P(E)=\dfrac{n(E)}{n(\Omega)}[/tex] admite que [tex]n(\Omega)\ne 0\,.[/tex]
Dessa forma, segue que
[tex]\quad 0 \leqslant n(E) \leqslant n(\Omega)\\
\quad \dfrac{0}{n(\Omega)} \leqslant \dfrac{ n(E)}{n(\Omega)}\leqslant \dfrac{ n(\Omega)}{n(\Omega)}\\
\quad \boxed{0 \leqslant P(E) \leqslant 1}\,.\\
[/tex]
[tex]\textcolor{#8b4513}{(ii)}\; P(\Omega)=\dfrac{n(\Omega)}{n(\Omega)}=1[/tex].
Logo, [tex]\boxed{P(\Omega)=1}\,.\\
[/tex]
[tex]\textcolor{#8b4513}{(iii)}\;[/tex] Sejam [tex]E_1[/tex] e [tex]E_2[/tex] eventos de [tex]\Omega[/tex] tais que [tex]E_1 \cap E_2=\emptyset\,.[/tex] Como [tex]E_1[/tex] e [tex]E_2[/tex] não têm elementos em comum, segue que o número de elementos da união [tex]E_1 \cup E_2[/tex] é a soma do número de elementos de cada um desses conjuntos, ou seja, [tex]n \left(E_1 \cup E_2 \right)=n \left(E_1 \right)+ n\left(E_2 \right)\,.[/tex] Assim, temos que:
[tex]\quad P(E_1 \cup E_2) = \dfrac{n \left(E_1 \cup E_2 \right)}{n(\Omega)}= \dfrac{n \left(E_1 \right)+ n\left(E_2 \right)}{n(\Omega)}\\
\quad P(E_1 \cup E_2) = \dfrac{n \left(E_1 \right)}{n(\Omega)}+\dfrac{n\left(E_2 \right)}{n(\Omega)} \\
\quad \boxed{P(E_1 \cup E_2) =P \left(E_1 \right)+P\left(E_2 \right)}\,.[/tex]

Portanto, a razão entre o número de casos favoráveis e o número de todos os casos possíveis define uma função probabilidade no espaço amostral finito e equiprovável [tex] \Omega\,.[/tex]

Duas observações:

Observação 1: Se [tex]E[/tex] é um evento de [tex]\Omega[/tex], então [tex]0 \leqslant P(E) \leqslant 1[/tex]; assim, quando for necessário utilizar porcentagem para expressar a probabilidade [tex]P(E)[/tex], lembre-se de multiplicar o resultado da divisão [tex]\dfrac{n(E)}{n(\Omega)}[/tex] por [tex]100[/tex] ou de utilizar uma regra de três.
Observação 2: Como a Probabilidade de Laplace é uma função probabilidade, se definida em um espaço amostral finito e equiprovável, então valem para esse espaço amostral todas as propriedades estabelecidas na Sala 1. Vamos reproduzi-las aqui, adaptadas a espaços amostrais finitos e equiprováveis, para facilitar as nossas discussões.

Exemplo:
Na nossa Sala inicial, utilizamos alguns exemplos de experimentos aleatórios, espaços amostrais e eventos para ilustrar algumas definições apresentadas. Agora, vamos utilizar três deles para ilustrar a definição que acabamos de apresentar.
No caso do lançamento de um dado, o espaço amostral é [tex]\Omega_1=\{1,2,3,4,5,6\}[/tex]. Quando queremos saber qual a chance de o resultado obtido ser par, por exemplo, estamos buscando estabelecer qual a probabilidade de o evento [tex]E_1=\{2 , 4 , 6\}[/tex] ocorrer. Como vamos supor que o dado seja honesto, [tex]\Omega_1[/tex] é finito e equiprovável e, portanto, segue que:
[tex]\qquad \qquad P(E_1)=\dfrac{n(E_1)}{n(\Omega_1)}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}=0,5.[/tex]

Percentualmente, [tex]P(E_1)=50\%.[/tex]
No caso da retirada de uma bola de uma urna com [tex]50[/tex] bolas numeradas de [tex]1[/tex] a [tex]50[/tex], o espaço amostral é [tex]\Omega_5=\{1,2,3,4,\cdots,49,50\}[/tex] e, se as bolas forem idênticas, temos também um espaço amostral finito e equiprovável. Se queremos determinar a probabilidade de se retirar uma bola com numeração acima de [tex]45[/tex], estamos lidando com o evento [tex]E_5=\{46,47,48,49,50\}\subset \Omega_5[/tex]. Assim:
[tex]\qquad \qquad P(E_5)=\dfrac{n(E_5)}{n(\Omega_5)}=\dfrac{5}{50}=\dfrac{1}{10}=0,1.[/tex]

Percentualmente, [tex]P(E_5)=10\%.[/tex]

Retirada uma carta de um baralho completo, exemplo (7), a probabilidade de o seu naipe ser paus é dada por:
[tex]\qquad \qquad P(E_7)=\dfrac{n(E_7)}{n(\Omega_7)}=\dfrac{1}{4}=0,25.[/tex]

Percentualmente, [tex]P(E_7)=25\%.[/tex]

Propriedades


Sejam [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] eventos de um mesmo experimento com espaço amostral [tex]\Omega[/tex] finito e equiprovável.
Se [tex]P[/tex] é a Probabilidade de Laplace, então:
(1) [tex]P(\emptyset) = 0\,.[/tex]
(2) [tex]P(\overline{A}) = 1-P(A)\,.[/tex]
(3) Se [tex]A \subset B[/tex] então [tex]P(A)=P(B)-P(B-A)\,.[/tex]
(4) Se [tex]A \subset B[/tex] então [tex]P(A) \leqslant P(B)\,.[/tex]
(5) [tex]P(A \cup B) = P(A) + P(B)-P(A \cap B)\,.[/tex]
(6) [tex]P(A-B) = P(A)-P(A \cap B)\,.[/tex]
(7) Não necessária.
(8) Se [tex]\Omega[/tex] tiver [tex]n[/tex] elementos, então a probabilidade de cada evento elementar [tex]a_i\,[/tex], [tex]1 \leqslant i \leqslant n[/tex], é dada por [tex]P\left(a_i\right)=\dfrac{1}{n}\,.[/tex]

Vamos ver alguns problemas. É sempre bom lembrar que um erro muito comum em cálculos de probabilidades é o de usar a Probabilidade de Laplace em espaços amostrais não equiprováveis.

Problema 1: Lançamento de um dado
No lançamento de um dado equilibrado, qual é a probabilidade de se obter face maior que [tex]3[/tex]?

Problema 2: Lançamento de dois dados comuns
Vamos considerar, novamente, o lançamento de dois dados equilibrados.
Calcular a probabilidade de que a soma dos números mostrados nas faces voltadas para cima seja:
(a) par.
(b) maior que dez.
(c) ímpar.

Problema 3: Quem está correta?
Ana, Beatriz e Cecília estavam estudando juntas e encontraram o seguinte problema formulado pelo professor delas, mestre PC:
Qual é a probabilidade de que a soma dos resultados obtidos ao se lançar dois dados equilibrados e idênticos seja [tex]7[/tex]?
Ana analisa a situação e diz:
Há [tex]36[/tex] casos possíveis para os resultados, dos quais [tex]6[/tex] são favoráveis. Logo, a probabilidade de dar a soma [tex]7[/tex] é [tex]\dfrac{1}{6}[/tex].
Beatriz discorda:
Ana, como os dados são idênticos, não faz sentido distinguir os resultados [tex](1, 2)[/tex] e [tex](2, 1)[/tex], por exemplo. Logo, há apenas [tex]21[/tex] casos possíveis, dos quais [tex]3[/tex] são favoráveis. A probabilidade de dar soma [tex]7[/tex] é, portanto, [tex]\dfrac{1}{7}[/tex].
Cecília discorda de ambas:
Vocês duas estão complicando a situação sem necessidade…
Há [tex]11[/tex] somas possíveis (de [tex]2[/tex] a [tex]12[/tex]). Assim, a probabilidade de dar soma [tex]7[/tex] é [tex]\dfrac{1}{11}[/tex]
.

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Qual das três está certa?

Problema 4: Uma corrida, dois experimentos…
No Problema 18 da Sala 1, propusemos que os atletas [tex]B[/tex], [tex]F[/tex], [tex]N[/tex], [tex]R[/tex], [tex]S[/tex], [tex]U[/tex] e [tex]W[/tex] vão disputar uma corrida de [tex]200[/tex] metros rasos e perguntamos se a probabilidade de [tex]U[/tex] ganhar a prova seria de [tex]\dfrac{1}{7}[/tex].

Imagem extraída de Freepik

Agora, neste problema, informamos que, antes da corrida, sete camisetas nas cores amarela, azul, verde, vermelha, preta, branca e cinza serão sorteadas entre os atletas e perguntamos: Qual é a probabilidade de que a corrida seja vencida pelo atleta da camiseta vermelha?

Problema 5: Cinco cartas de um baralho
(UERJ-2018) Cinco cartas de um baralho estão sobre uma mesa; duas delas são Reis, como indicam as imagens.

Após serem viradas para baixo e embaralhadas, uma pessoa retira uma dessas cartas ao acaso e, em seguida, retira outra.
Qual a probabilidade de sair Rei apenas na segunda retirada?

Como vimos no Problema 5, a utilização do Princípio Fundamental da Contagem/Princípio Multiplicativo pode evitar contagens explícitas muito longas. Assim, vamos enunciar a forma geral desse Princípio.

explicador_p

Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo

Se

  • uma decisão D1 puder ser tomada de [tex] m_1 [/tex] maneiras diferentes,
  • uma decisão D2 puder ser tomada de [tex]m_2 [/tex] maneiras diferentes,
  • [tex]\cdots[/tex]
  • uma decisão Dk puder ser tomada de [tex]m_k [/tex] maneiras diferentes

e todas essas decisões forem independentes entre si (isto é, a ocorrência de uma não muda a quantidade de possibilidades para a ocorrência de outra), então a quantidade de maneiras com que as [tex]k[/tex] decisões podem ser tomadas ao mesmo tempo é
[tex]\qquad \qquad \boxed{m_1\times m_2 \times \cdots \times m_k} \, .[/tex]

Problema 6: Probabilidade com baralho
Um baralho comum é composto de [tex]52[/tex] cartas separadas em quatro naipes: paus, espadas, copas e ouros, cada naipe com [tex]13[/tex] cartas. Para cada naipe, as cartas podem ser Ás, [tex]2[/tex], [tex]3[/tex], [tex]4[/tex], [tex]5[/tex], [tex]6[/tex], [tex]7[/tex], [tex]8[/tex], [tex]9[/tex], [tex]10[/tex], Valete ([tex]J[/tex]), Dama ([tex]Q[/tex]) e Rei ([tex]K[/tex]).


Um baralho comum é embaralhado e depois do embaralhamento as cartas são colocadas umas sobre as outras, formando um monte. Qual a probabilidade de que as quatro cartas do topo do monte tenham naipes diferentes?

Problema 7: Lançamento de cinco dados comuns
Vamos considerar o lançamento simultâneo de cinco dados equilibrados. Calcular a probabilidade de que as faces voltadas para cima mostrem:
(a) cinco números diferentes.
(b) exatamente dois números iguais.
(c) três números iguais e dois distintos. (Situação ilustrada na figura ao lado.)
(d) três números iguais e dois outros iguais entre si.
(e) exatamente quatro números iguais.
(f) cinco números iguais.

Permutações e Combinações são ferramentas da Análise Combinatória que também permitem que consigamos determinar o número de elementos de conjuntos finitos formados a partir de determinadas regras, sem que seja necessário contarmos um a um esses elementos. Embora as fórmulas básicas resultantes do estudo dessas ferramentas sejam obtidas a partir do Princípio Fundamental da Contagem, vale a pena recordar as respostas a duas perguntas que aparecem com frequência em problemas de probabilidade no momento de contar os casos possíveis e os favoráveis.

explicador_p

Combinações e Permutações

Considere [tex]n[/tex] objetos distintos [tex]a_1,a_2,\cdots,a_n[/tex].

De quantas maneiras podemos organizar em fila esses [tex]n[/tex] objetos distintos?
O objeto matemático que responde a essa pergunta é a permutação simples.

Chamamos de permutação simples de [tex]n[/tex] objetos distintos a toda sequência ordenada desses [tex]n[/tex] objetos, na qual cada um deles aparece uma única vez.
O número total de permutações simples de [tex]n[/tex] objetos é denotado por [tex]P_n\,[/tex] e é dado por:
[tex]\qquad \qquad P_n=n!\,.[/tex]

Assim, a resposta à nossa primeira pergunta é [tex]\;\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$P_n=n!$}\,.[/tex]

De quantas maneiras podemos escolher [tex]r[/tex] objetos distintos entre os [tex]n[/tex] objetos distintos dados?
Agora, o objeto matemático que reponde à nossa pergunta é a combinação simples.

Chamamos de combinação simples de [tex]n[/tex] objetos distintos tomados [tex]r[/tex] a [tex]r[/tex] a todo agrupamento formado por [tex]r[/tex] objetos diferentes escolhidos entre os [tex]n[/tex] objetos dados, levando-se em consideração apenas a sua natureza, sem se importar em que ordem eles foram escolhidos ou apresentados.
O número total de combinações simples de [tex]n[/tex] objetos tomados [tex]r[/tex] a [tex]r[/tex] é denotado por [tex]C_{n\, ,\, r}[/tex] ou [tex]C_n^r\,[/tex] e é dado por:
[tex]\qquad \qquad C_{n\, ,\, r}=C_n^r=\dfrac{n!}{(n-r)!\, r!}\, [/tex], com [tex]0\lt r \leqslant n\,.[/tex]

Assim, a resposta à nossa segunda pergunta é [tex]\;\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$C_{n\, ,\, r}=C_n^r=\dfrac{n!}{(n-r)!\, r!}$}\,.[/tex]

Problema 8: Retirada de bolas
De uma urna com doze bolas, quatro amarelas, quatro verdes e quatro vermelhas, serão retiradas seis bolas sem reposição.
Qual é a probabilidade de serem retiradas duas bolas de cada cor?

Problema 9: Mega-Sena
No jogo da Mega-Sena são sorteadas seis dezenas distintas entre as primeiras sessenta dezenas: 01 – 02 – … – 60. O apostador escolhe seis dessas sessenta dezenas e é premiado se forem sorteadas quatro (Quadra), cinco (Quina) ou seis (Sena Principal).

Determine a probabilidade de um apostador fazer:
(a) uma Quadra;
(b) uma Quina;
(c) a Sena Principal.

Às vezes é mais fácil calcularmos "o que não queremos" do que calcular exatamente "o que queremos". Com a Probabilidade de Laplace não é diferente; já aplicamos essa estratégia, mas vamos enfatizá-la mais e explorá-la na resolução de mais alguns problemas.
Como aplicá-la?
Vejamos!
Suponha que você tenha um espaço amostral [tex]\Omega\,[/tex] composto apenas por dois eventos [tex]A\,[/tex] e [tex]\,B[/tex] disjuntos. Neste caso, conforme vimos na Sala Inicial, [tex]A= \overline{B}\,[/tex] e [tex]B= \overline{A}\,[/tex], ou seja, [tex]A\,[/tex] e [tex]\,B[/tex] são eventos complementares.
Assim, estamos nas seguintes condições:
[tex]\qquad A\cup B=\Omega[/tex],
[tex]\qquad A\cap B=\emptyset[/tex];
portanto, se você precisar da probabilidade de [tex]A\,[/tex], mas for mais fácil calcular a probabilidade de [tex]B[/tex], então calcule a probabilidade de [tex]B\,[/tex] e utilize a propriedade 2:
[tex]\qquad \qquad P(A)=1-P(\overline{A})=1-P(B)\,.[/tex]

Problema 10: Aedes aegypti
(UERJ 2009) Um pesquisador possui em seu laboratório um recipiente contendo [tex]100[/tex] exemplares de Aedes aegypti, cada um deles contaminado com apenas um dentre três tipos de vírus, de acordo com os seguintes dados:

  • Tipo [tex]DEN1[/tex]: [tex]30[/tex] mosquitos;
  • Tipo [tex]DEN2[/tex]: [tex]60[/tex] mosquitos;
  • Tipo [tex]DEN3[/tex]: [tex]10[/tex] mosquitos.

Retirando-se simultaneamente e ao acaso dois mosquitos desse recipiente, qual a probabilidade de que pelo menos um esteja contaminado com o tipo [tex]DEN3[/tex]?

Problema 11: Signos
Sabemos que são doze os signos do zodíaco.

Imagem extraída de 93 Noticias

Em um grupo de quatro pessoas, qual a probabilidade de haver coincidência de signos?

Problema 12: Datas de aniversário
Ana Bela estuda em uma turma de trinta alunos.
No início do ano letivo ela teve a ideia de montar uma tabela com as datas de aniversário dos trinta aluno da turma para, no caso de coincidência de datas, os aniversariantes combinarem uma festa única.

Os alunos da turma acharam que em um grupo de apenas trinta pessoas seria quase impossível ter uma coincidência de datas; mas, assim mesmo, todos forneceram suas respectivas datas de aniversário.
Qual a probabilidade de ter aparecido alguma coincidência na tabela da Ana Bela?

Problema 13: Par, ímpar
(UNICAMP, 2004) Considere o conjunto dos dígitos [tex]\{1, 2, 3, \cdots , 9\}[/tex] e forme com eles números de nove algarismos distintos.
Escolhendo-se ao acaso um dos números pares formados, qual a probabilidade de que este número tenha exatamente dois dígitos ímpares juntos?

Problema 14: Meias soltas em uma gaveta
Uma pessoa descuidada tem oito meias amarelas, seis azuis, quatro verdes e apenas uma vermelha, todas soltas em uma gaveta. Certo dia, com muita pressa, ela pegou na gaveta duas meias, uma e em seguida outra, sem olhar a cor delas.
Calcular a probabilidade de:
(a) As duas meias serem amarelas.
(b) As duas meias serem da mesma cor.
(c) Uma das meias ser a vermelha.
(d) Uma delas ser verde e a outra não.
(e) Uma delas ser verde e a outra azul.

Apresentaremos mais uma ferramenta que podemos utilizar no cálculo de probabilidades: o diagrama de árvore.

explicador_p
O diagrama de árvore, ou árvore de probabilidades, é um tipo de diagrama no qual inserimos possibilidades e resultados informados em um problema para a sua análise e consequente solução. Neste momento, vamos apresentar e utilizar a árvore apenas como um mapa dos possíveis resultados de uma série de escolhas relacionadas.
O diagrama começa com um único nó (usualmente chamado de nó inicial ou raiz) que se ramifica de acordo com a análise dos dados. Essas ramificações levam a nós adicionais, que, por sua vez, se ramificam em outras possibilidades, surgindo novos nós. A expansão continua até que cada caminho definido no diagrama atinja um desfecho, o que significa que não há mais escolhas a serem feitas ou resultados prováveis a serem considerados.
Assim, cria-se um diagrama cuja forma lembra os ramos de uma árvore.

São essas ramificações da árvore que, quando construídas corretamente, ajudam na organização e no entendimento das informações de um problema, já que cada nó da árvore corresponde à ocorrência de um evento que está condicionado à ocorrência de todos os eventos representados pelos nós anteriores no caminho correspondente.
Uma propriedade fundamental de uma árvore de probabilidades é que só existe um caminho da raiz para qualquer nó.

Vamos ilustrar essa ferramenta com dois exemplos.

Problema 15: Lançando uma moeda
Uma moeda honesta é lançada seguidamente por três vezes.
Qual a probabilidade de sair exatamente uma cara nos três lançamentos?

Imagem extraída de Freepik

Problema 16: Uma pesquisa relâmpago
A tabela abaixo apresenta informações obtidas em uma rápida pesquisa feita com alunos de uma universidade, sobre a cor com que foram pintados os corredores daquela instituição.

(1) Construa um diagrama de árvore com os dados da tabela.
(2) Escolhida uma pessoa ao acaso dentre as entrevistadas, determine a probabilidade de escolhermos:
(a) Uma pessoa do sexo masculino e sem opinião sobre a cor dos corredores.
(b) Uma mulher que não gostou da cor dos corredores.
(3) Escolhida uma pessoa ao acaso dentre os alunos do noturno, determine a probabilidade de um que tenha gostado da cor dos corredores.
(4) Escolhida uma pessoa ao acaso, determine a probabilidade de essa pessoa não ter opinião sobre a cor dos corredores, sabendo que ela é do sexo feminino.

Conforme observamos, se estivermos analisando um experimento que envolva muitas etapas, fica inviável a construção de uma árvore de probabilidades. Mas na Sala 3 esse tipo de diagrama será bem útil!

Agora, é com vocês.

Se vocês tiverem que definir probabilidades para um espaço amostral, não se esqueçam de verificar com cuidado se esse espaço é equiprovável!

Bom proveito, pessoal!

Problema 17: Um jogo de fichas
Em um jogo, dentre dez fichas numeradas com números distintos de 1 a 10, duas fichas são distribuídas ao jogador. Este ganhará um prêmio se tiver recebido fichas com dois números consecutivos.
Então, qual é a probabilidade de um jogador ganhar o prêmio nesse jogo?

Solução

Problema 18: Meias espalhadas
Em uma gaveta existem quatro meias, sendo cada uma delas ou preta ou branca. Retiradas duas delas, ao acaso, temos que a probabilidade de serem ambas brancas é 1/2.
Nesse caso, qual a probabilidade de serem ambas pretas?

Solução

Problema 19: Uma carta do baralho
Uma carta foi retirada de um baralho completo.
Qual a probabilidade de essa carta ser um Rei ou uma carta de Ouros?

Solução

Problema 20: Primos e primos
Entre os números inteiros positivos menores do que [tex]100[/tex], cujos dígitos são números primos, um é escolhido ao acaso.
Qual a probabilidade de que o número escolhido seja primo?

Solução

Problema 21: Seguradora de Veículos
A Seguro e Cia vende seguros contra roubo para as [tex]20[/tex] vans de uma empresa de entrega de carga. O seguro de todos os veículos citados tem uma anuidade de [tex]R\$\ 200.000,00[/tex]. No caso de uma van ser roubada, a empresa recebe um prêmio no valor de [tex]R\$\ 220.000,00[/tex], que corresponde ao valor de um novo veículo. Após um estudo na região onde os veículos circulam, verificou-se que a probabilidade de uma van ser roubada no decorrer de um ano é de [tex]35\%[/tex]. Qual a probabilidade de que, em um ano, a seguradora tenha prejuízo?

Solução

Problema 22: Senha Bancária
(ESPM) A senha bancária da dona Maria era o número [tex]753213[/tex] seguido pelas letras [tex]D, D[/tex] e [tex]B[/tex], nessa ordem. Acontece que ela só se lembrava da parte numérica, esquecendo-se completamente da sequência de letras. O caixa eletrônico apresentou os quatro botões mostrados na figura abaixo, que ela deveria pressionar exatamente três vezes, podendo repeti-los, um para cada letra da senha.

Se ela fizer as escolhas aleatoriamente, qual a probabilidade de acertar a senha?

Solução

Problema 23: Transferências de bolas
(FGV, 2013) Tânia e Geraldo têm, cada um, uma urna contendo cinco bolas. Cada urna contém uma bola de cada uma das seguintes cores: azul, verde, preta, branca e roxa. As bolas são distinguíveis umas das outras apenas por sua cor. Tânia transfere, ao acaso, uma bola da sua urna para a de Geraldo. Em seguida, Geraldo transfere, ao acaso, uma bola da sua urna para a de Tânia.
Ao final das transferências, qual a probabilidade de que as duas urnas tenham sua configuração inicial?

Solução

Problema 24: Urna
Em uma urna, há bolas azuis, brancas e cinzas.
Sabe-se que:

  • A probabilidade de retirar uma bola branca dessa urna é o triplo da probabilidade de retirar uma bola azul.
  • Se forem colocadas [tex]10[/tex] bolas azuis nessa urna, a probabilidade de retirar uma bola azul passa a ser [tex]0,3[/tex].
  • Se forem colocadas [tex]10[/tex] bolas cinzas nessa urna, a probabilidade de retirar uma bola cinza passa a ser [tex]0,2[/tex].

Determine a quantidade de bolas de cada cor.

Solução

Problema 25: Probabilidade no Cubo
Observe o cubo desenhado na figura.
Dezembro

Considere todos os possíveis segmentos de retas determinados por cada dois vértices, entre os oito existentes.
Qual a probabilidade de se escolher um desses segmentos e ele passar pelo vértice [tex]G[/tex]?

Solução

Problema 26: Amigo secreto
(FUVEST) Cláudia, Paulo, Rodrigo e Ana brincam entre si de amigo-secreto (ou amigo-oculto).
O nome de cada um é escrito em um pedaço de papel, que é colocado em uma urna.
Em seguida, cada participante da brincadeira retira da urna um dos pedaços de papel, ao acaso.
Qual a probabilidade de que nenhum participante retire seu próprio nome?

Solução

Problema 27: Probabilidade de um produto par
Dois números distintos do conjunto [tex]\{1, 2, 3, 4, 5\}[/tex] são selecionados ao acaso e depois multiplicados.
Qual é a probabilidade de o produto destes dois números ser par?

Solução

Problema 28: Um dado diferente
A montagem da planificação indicada na figura irá gerar um dado com as respectivas letras apresentadas em suas faces. Se jogarmos esse dado duas vezes no chão e observarmos o que apareceu na face superior, qual é a probabilidade de obtermos duas letras iguais, porém em faces de cores distintas?

Solução

Problema 29:
(UERJ, 2014) Em um escritório, há dois porta-lápis: o porta-lápis A com 10 lápis, dentre os quais 3 estão apontados, e o porta-lápis B com 9 lápis, dentre os quais 4 estão apontados.

Um funcionário retira um lápis qualquer ao acaso do porta-lápis A e o coloca no porta-lápis B. Novamente ao acaso, ele retira um lápis qualquer do porta-lápis B.
Qual a probabilidade de que este último lápis retirado não tenha ponta?
Resposta: [tex]0,57[/tex].

Problema 30:
Vinte e quatro times são divididos em dois grupos com doze times cada.
Qual é a probabilidade de dois desses times ficarem no mesmo grupo?
Resposta: [tex]\dfrac{11}{23}[/tex].

Problema 31:
Vinte e quatro times são divididos em dois grupos com doze times cada.
Qual é a probabilidade de dois desses times ficarem no mesmo grupo?
Resposta: [tex]\dfrac{11}{23}[/tex].

Problema 32:
Ao se lançar um dado duas vezes, qual a probabilidade da soma dos números obtidos ser [tex]10[/tex]?
Resposta: [tex]\dfrac{1}{12}[/tex].

Problema 33:
O jogo da Mega-Sena consiste em sortear seis números dentre os sessenta primeiros números inteiros positivos. Um professor aposta comprando um cartão em que escolhe nove números. Qual a probabilidade de o professor acertar todos os números da Mega-Sena?
Resposta: [tex]\dfrac{84}{50.063.860} \approx 0,00000168\,.[/tex]

Problema 34:
Determine a probabilidade de que, quando um casal tem três filhos, exatamente dois deles sejam meninos.
Suponha que meninos e meninas sejam igualmente prováveis e que o sexo de uma criança não seja influenciado pelo sexo de qualquer outra criança.
Resposta: [tex]\dfrac{3}{8}\,.[/tex]

Problema 35:
Dois dados honestos são lançados simultaneamente e é feita a soma dos números mostrados nas faces voltadas para cima.
Qual a probabilidade de que a soma seja [tex]6\,[/tex] ou [tex]\,7[/tex]?
Resposta: [tex]\dfrac{11}{36}\,.[/tex]

Problema 36:
Utilizando os algarismos [tex]1,2,3,4,5,6,7[/tex], foram construídos com eles todos os números possíveis com dois algarismos distintos. Escolhendo-se aleatoriamente um desses números, qual a probabilidade de ele ser par?
Resposta: [tex]\dfrac{3}{7}\,.[/tex]



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