Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Em uma urna, há bolas azuis, brancas e cinzas.
Sabe-se que:
- A probabilidade de retirar uma bola branca dessa urna é o triplo da probabilidade de retirar uma bola azul.
- Se forem colocadas [tex]10[/tex] bolas azuis nessa urna, a probabilidade de retirar uma bola azul passa a ser [tex]0,3[/tex].
- Se forem colocadas [tex]10[/tex] bolas cinzas nessa urna, a probabilidade de retirar uma bola cinza passa a ser [tex]0,2[/tex].
Determine a quantidade de bolas de cada cor.
Solução
Vamos denotar a quantidade de bolas azuis, brancas e cinzas por [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex], respectivamente. E denotemos também as probabilidades de retirar uma bola azul e uma bola branca por [tex]p(A)[/tex] e [tex]p(B)[/tex], respectivamente.
Observe que inicialmente têm-se [tex]\boxed{P(A)=\dfrac{a}{a+b+c}} \, \, [/tex] e [tex] \, \, \boxed{P(B)=\dfrac{b}{a+b+c}} \, [/tex]; assim:
- Como a probabilidade de retirar uma bola branca dessa urna é o triplo da probabilidade de retirar uma bola azul, temos
[tex]\qquad \qquad \dfrac{b}{a+b+c}=3\cdot\dfrac{a}{a+b+c} \, [/tex],
e daí segue que [tex]b=3a[/tex]. - Considerando a probabilidade de retirar uma bola azul após colocar [tex]10[/tex] bolas azuis nessa urna, tem-se:
[tex]\qquad \qquad \dfrac{a+10}{a+10+b+c}=\dfrac{3}{10} \, [/tex],
donde segue que:
[tex]\qquad 10a+100=3a+30+3b+3c[/tex]
[tex]\qquad 7a-3b-3c=-70 \, .[/tex] - Considerando a probabilidade de retirar uma bola cinza após colocar [tex]10[/tex] bolas cinzas nessa urna, tem-se:
[tex]\qquad \qquad \dfrac{c+10}{a+b+c+10}=\dfrac{2}{10}[/tex]
e, portanto,
[tex]\qquad 10c+100=2a+2b+2c+20[/tex]
[tex]\qquad 2a+2b-8c=80 \, .[/tex]
Dessa forma, temos o seguinte sistema de três equações e três incógnitas:
[tex]\qquad \qquad \left\{\begin{array}{c}
b=3a\\
7a-3b-3c=-70\\
2a+2b-8c=80 \, \, \, \,
\end{array}\right.[/tex].
Resolvendo o sistema, encontramos [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$a=20,\ b=60\ \text{e} \, \ c=10$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.