Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Dois números distintos do conjunto [tex]\{1, 2, 3, 4, 5\}[/tex] são selecionados ao acaso e depois multiplicados. Qual é a probabilidade de o produto destes dois números ser par?
Solução 1
Inicialmente, lembre-se de que o produto de dois números será par se pelo menos um dos números for par; e, será ímpar, se nenhum dos dois números selecionados for par, ou seja, se os dois forem ímpares.
Vamos utilizar a chamada probabilidade complementar para resolver este problema. Para tanto, precisaremos calcular qual a probabilidade de o produto dos dois números selecionados ser ímpar e já sabemos que isso acontecerá quando esses números forem ímpares.
Lembrando que, neste caso, a probabilidade é dada pelo “número de casos favoráveis” dividido pelo “número total de casos”, como:
- [tex]\binom{3}{2}[/tex] é o número de formas de escolher dois dentre os três números ímpares que temos disponíveis;
- [tex]\binom{5}{2}[/tex] é o número de formas de escolher dois dentre os cinco números que temos no conjunto;
então, a probabilidade de o produto ser ímpar é dada por:
[tex]\qquad \dfrac{\binom{3}{2}}{\binom{5}{2}}=\dfrac{3}{10}=0,3[/tex].
Portanto, a probabilidade de o produto ser par é dada por [tex]1-0,3=0,7[/tex], ou seja, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$70\%$} \, [/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Se você ainda não aprendeu número binomial e combinações, você pode simplesmente listar e contar os casos possíveis e os favoráveis necessários para o cálculo da probabilidade pedida no problema, já que temos um conjunto com poucos elementos: apenas cinco.
- Casos possíveis: Quantos pares de números distintos podemos formar com os números [tex]1, 2, 3, 4, 5[/tex] ?
Vamos listar esses pares e contá-los; vejamos.- [tex]\boxed{\textcolor{red}{1 \, e \, 2}}[/tex] ; [tex]\boxed{\textcolor{red}{1 \, e \, 3}}[/tex] ; [tex]\boxed{\textcolor{red}{1 \, e \, 4}}[/tex] ; [tex]\boxed{\textcolor{red}{1 \, e \, 5}}[/tex] .
- [tex]\boxed{\textcolor{blue}{2 \, e \, 3}}[/tex] ; [tex]\boxed{\textcolor{blue}{2 \, e \, 4}}[/tex] ; [tex]\boxed{\textcolor{blue}{2 \, e \, 5}}.[/tex]
- [tex]\boxed{\textcolor{green}{3 \, e \, 4}}[/tex] ; [tex]\boxed{\textcolor{green}{3 \, e \, 5}}.[/tex]
- [tex]\boxed{\textcolor{#800000}{4 \, e \, 5}}.[/tex]
[tex]\qquad \textcolor{red}{1 \, \, \begin{cases}
2\\
3\\
4\\
5 \end{cases}}
\qquad \textcolor{blue}{2 \, \, \begin{cases}
3\\
4\\
5 \end{cases}}
\qquad \textcolor{green}{3 \, \, \begin{cases}
4\\
5 \end{cases}}
\qquad \textcolor{#800000}{4 \, \, \begin{cases}
5 \end{cases}}\qquad [/tex] - Casos favoráveis: Queremos dois números cujo produto seja par e já sabemos que isso significa que um dos dois números a serem escolhidos é necessariamente par.
Assim, vamos listar os pares de números com, pelo menos, um número par e contá-los; vejamos.- [tex]\boxed{\textcolor{red}{2 \, e \, 1}}[/tex] ; [tex]\boxed{\textcolor{red}{2 \, e \, 3}}[/tex] ; [tex]\boxed{\textcolor{red}{2 \, e \, 4}}[/tex] ; [tex]\boxed{\textcolor{red}{2 \, e \, 5}}[/tex].
- [tex]\boxed{\textcolor{blue}{4 \, e \, 1}}[/tex] ; [tex]\boxed{\textcolor{blue}{4 \, e \, 3}}[/tex] ; [tex]\boxed{\textcolor{blue}{4 \, e \, 5}}[/tex]
[tex]\qquad \textcolor{red}{2 \, \, \begin{cases}
1\\
3\\
4\\
5 \end{cases}}
\qquad \textcolor{blue}{4 \, \, \begin{cases}
1\\
3\\
5 \end{cases}}\qquad [/tex]
Podemos, então, formar [tex]\boxed{NP=10}[/tex] pares de números, no total.
Podemos formar apenas [tex]\boxed{NF=7}[/tex] pares de números com um deles necessariamente par.
Portanto, como a probabilidade de o produto ser par é dada pelo quociente entre número de casos favoráveis, [tex]NF=7[/tex], e número de casos possíveis, [tex]NP=10[/tex], nessa ordem, temos:
[tex]\qquad P=\dfrac{NF}{NP}=\dfrac{7}{10}=0,7[/tex].
Portanto, a probabilidade de o produto ser par é [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$70\%$} \, [/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.