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Lugar geométrico – Um primeiro estudo

Lugar Geométrico – Um primeiro estudo


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Lugares Geométricos e Geometria Dinâmica

Nem sempre é fácil determinarmos um lugar geométrico:

além de imaginarmos um ponto se movimentando de acordo com determinadas condições, temos que ser capazes de descrever a trajetória desse ponto enquanto ele se movimenta.

Por isso, não desanime ao resolver problemas envolvendo lugar geométrico, pois, em geral, a solução não ocorre imediatamente: é preciso analisar, pensar, conjecturar qual o conjunto de todos os pontos que satisfazem a condição que caracteriza o lugar geométrico procurado, além de justificar que a conjectura está correta!
Mas podemos utilizar Geometria Dinâmica para nos ajudar a fazer conjecturas de quais conjuntos poderiam ser o lugar geométrico procurado. Com isso a tarefa fica mais fácil e o estudo vira até brincadeira!
Assim, neste primeiro estudo, vamos utilizar applets para brincar com quatro lugares geométricos do plano e apresentar a solução dos problemas propostos, sem nos preocupar em justificar matematicamente as nossas respostas. No entanto é importante ressaltar que applets são instrumentos com precisão limitada, matematicamente falando. Em que pese a importância da experimentação para se fazer conjecturas e “sugerir” que determinado fato possa ou não ser verdadeiro, só podemos considerar que tal fato é verdadeiro, ou falso, a partir de uma demonstração feita com o rigor que a Matemática exige.

O ideal é utilizar Geometria Dinâmica para conjecturar, fazer inferências, descobrir alguns resultados e depois fazer as demonstrações necessárias para sustentar matematicamente os resultados obtidos.

Aí vêm os primeiros exemplos.
Bons estudos!

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Exemplo 1:  Fixe um plano α.
Sejam  C  um ponto de α e  r   um número maior do que zero.
Qual o lugar geométrico dos pontos do plano α cujas respectivas distâncias ao ponto C  sejam  r  ?

Exemplo 2:  Fixe um plano α.
Qual o lugar geométrico descrito pelo centro de uma circunferência  c, quando essa circunferência rola, sem deslizar, sobre uma reta  r?

Exemplo 3:  Fixe um plano α.
Considere todos os paralelogramos ABCD do plano α tais que a base determinada pelos pontos A e B é fixa e o comprimento da altura relativa ao vértice  C é constante.
Qual o lugar geométrico dos pontos de interseção das diagonais desses paralelogramos?

Exemplo 4:  Fixe um plano α e nesse plano fixe uma reta r.
Considere uma circunferência c de raio R e fixe um ponto P de c.
Determine o lugar geométrico descrito pelo ponto P, quando c rola sobre a reta r, sem deslizar.

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Estamos preparando uma sala para um segundo estudo sobre Lugar Geométrico.
A G U A R D E M !

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Exemplo 1

Lugar Geométrico – Exemplo 1 Aqui temos a generalização do lugar geométrico que apresentamos no finalzinho da Sala Principal. Assim, se você não conseguiu justificar a afirmação apresentada, a discussão desta Sala poderá ajudar… Exemplo 1:  Fixe um plano α. Sejam  C  um ponto de α e  r   um número maior do que zero. …

Exemplo 2

Lugar Geométrico – Exemplo 2 Vamos observar a circunferência que rola sobre uma reta sem deslizar que aparece no cabeçalho das páginas do nosso Blog e propor mais um problema de lugar geométrico. Exemplo 2:  Fixe um plano α. Determine o lugar geométrico descrito pelo centro de uma circunferência  c, quando essa circunferência rola, sem …

Exemplo 3

Lugar Geométrico – Exemplo 3 Vamos propor outro problema sobre lugar geométrico. Exemplo 3:  Fixe um plano α. Considere todos os paralelogramos ABCD do plano α tais que a base determinada pelos pontos A e B é fixa e o comprimento da altura relativa ao vértice  C é constante. Determine o lugar geométrico dos pontos de interseção das …

Exemplo 4

Lugar Geométrico – Exemplo 4 Vamos observar novamente uma circunferência que rola sobre uma reta e propor um quarto problema de lugar geométrico. Exemplo 4:  Fixe um plano α e nesse plano fixe uma reta r. Considere uma circunferência c de raio R e fixe um ponto P de c. Determine o lugar geométrico descrito …