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Exemplo 1

Lugar Geométrico – Exemplo 1

Aqui temos a generalização do lugar geométrico que apresentamos no finalzinho da Sala Principal. Assim, se você não conseguiu justificar a afirmação apresentada, a discussão desta Sala poderá ajudar…

Exemplo 1:  Fixe um plano α.
Sejam  C  um ponto de α e  r   um número maior do que zero.
Determine o lugar geométrico dos pontos do plano α cujas respectivas distâncias ao ponto C  sejam  r  .

Podemos utilizar um applet para, fixados um ponto C e um número real positivo r, obtermos pontos P que estão a uma distância r de C e, também, tentar verificar que outros pontos, que não os obtidos, não satisfazem a condição de equidistância do ponto  C.
No applet abaixo, fixamos um ponto C e uma distância r.
(1) Movimente o ponto P e obtenha um conjunto de pontos que estão a uma distância  r de  C.
(2) Depois de desenhar a curva que parece ser o lugar geométrico do Exemplo 1, tente movimentar o ponto P fora da trajetória obtida e observe que, mesmo querendo, não conseguimos obter um ponto que não pertença à curva já desenhada.

Abra o applet e observe que o comprimento do segmento [tex]\overline{DR}[/tex] é [tex]r[/tex]. Assim, é possível movimentar o segmento [tex]\overline{DR}[/tex] e verificar que, em qualquer posição, a distância entre os pontos [tex]P[/tex] e [tex]C[/tex] é, de fato, [tex]r[/tex].
Para deslocar o segmento [tex]\overline{DR}[/tex], clique sobre o ponto [tex]D[/tex] e arraste-o.
Para rodar o segmento [tex]\overline{DR}[/tex], clique sobre o ponto [tex] R[/tex] e rode-o.
Para reiniciar a construção, clique no ícone localizado no canto superior direito do applet.

Para abrir o applet, clique AQUI e aguarde o arquivo carregar.

OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra

Na realidade, nem precisaríamos de um applet para verificar que conjunto de pontos que satisfaz, simultaneamente, as condições (1) e (2) é a circunferência de centro em C e raio r. Bastaria lembrarmos da seguinte definição:
Definição: Fixe um plano α e sejam C um ponto de α e r um número real positivo (r>0).
Chamamos de circunferência de centro em C e raio r ao conjunto dos pontos do plano α que estão a uma distância r do ponto C.

teste6

OBMEP_ SRDG, criado com o GeoGebra

Com o próximo applet você poderá traçar várias circunferências.

(1) Abra o applet.
(2) Escolha um raio, movimentando horizontalmente o ponto Raio.
(3) Movimente horizontalmente o ponto vermelho M e observe que o ponto P descreve a circunferência de centro em C e com o raio que você escolheu.
(4) Clique no ícone localizado no canto superior direito do applet antes de escolher um novo raio e reiniciar a construção.

Para abrir o applet, clique AQUI e aguarde o arquivo carregar.

OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra



Sonia Regina Di Giacomo
Equipe COM – OBMEP

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Exemplo 2

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