Voltar para Lugar geométrico – Um primeiro estudo

Exemplo 3

Lugar Geométrico – Exemplo 3

Vamos propor outro problema sobre lugar geométrico.

Exemplo 3:  Fixe um plano α.
Considere todos os paralelogramos ABCD do plano α tais que a base determinada pelos pontos A e B é fixa e o comprimento da altura relativa ao vértice  C é constante.
Determine o lugar geométrico dos pontos de interseção das diagonais desses paralelogramos.

Este exemplo também não é trivial, assim, mãos à obra!
(a)  Pegue uma folha de papel e desenhe dois pontos distintos A e B e escolha uma distância d.

LG3

(b)  Faça o desenho de um dos paralelogramos propostos.

LG33

(c)  Seja P o ponto de interseção das diagonais do paralelogramo ABCD.

LG333

(d)  Agora, faça o desenho de outros paralelogramos com um dos lados determinado pelos pontos A e B e com a altura relativa a esse lado com comprimento d.

O que aconteceu com as interseções das diagonais desses paralelogramos?

Se você não conseguiu uma resposta conclusiva, as próximas Planilhas Dinâmicas podem lhe ajudar.

Na planilha dinâmica abaixo, fixamos dois pontos distintos A e B e uma distância d.
Movimentando horizontalmente o ponto D você obterá vários paralelogramos com um dos lados determinado pelos pontos A e B e a altura relativa a esse lado com comprimento d.
Assim, mova horizontalmente o ponto assinalado com a letra D e observe os vários paralelogramos obtidos.

Para abrir a planilha dinâmica, clique AQUI

OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra

Na próxima planilha, fixamos dois pontos distintos A e B e uma distância d.
Movimente o ponto D para obter paralelogramos com as propriedades requeridas e visualizar parte do Lugar Geométrico do Exemplo 3.
Para reiniciar a construção, clique no ícone localizado no canto superior direito da planilha dinâmica

Para abrir a planilha dinâmica, clique AQUI

OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra

E aí, qual é o lugar geométrico do Exemplo 3?

Podemos conjecturar que o lugar geométrico do Exemplo 3 é

a reta que passa pelo ponto de interseção das diagonais de
qualquer um dos paralelogramos e é paralela ao lado fixo.

Você pode ver uma animação dessa conjectura, clicando AQUI; mas lembre-se de que esta animação não substitui a demonstração matemática da conjectura.


Você pode parar ou reiniciar o movimento dos paralelogramos, clicando nos ícones que aparecem no canto inferior esquerdo do applet.
OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra



Sonia Regina Di Giacomo
Equipe COM – OBMEP

Voltar para Sala Principal
Voltar para a Sala Lugar geométrico – Um primeiro estudo
Exemplo 4

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/sala-de-estudos-lugar-geometrico/lugar-geometrico-um-primeiro-estudo-2/exemplo-3/