Sala de Estudo: Um pouco sobre divisibilidade (Parte 2)

Apresentando a divisibilidade nos números naturais

Observem, mais uma vez, que quase toda a discussão da Sala anterior pode ser feita a partir da divisão de um número natural [tex]a[/tex] por um número natural não nulo [tex]b[/tex].

Em particular, se [tex]r=0[/tex], temos que [tex]a=q\times b[/tex] e podemos relacionar os números [tex]a[/tex] e [tex]b \, [/tex] dizendo que:

• a divisão de [tex]a[/tex] por [tex]b[/tex] tem resto [tex]0[/tex];
• a divisão de [tex]a[/tex] por [tex]b[/tex] é exata;
• [tex]a[/tex] é divisível por [tex]b[/tex];
• [tex]a[/tex] é um múltiplo de [tex]b[/tex];
• [tex]b[/tex] é um divisor de [tex]a[/tex];
• [tex]b[/tex] é um fator de [tex]a[/tex].

(Seis nomenclaturas para designar o mesmo fato: [tex]a=q\times b[/tex], com [tex]a[/tex], [tex] \, b \, [/tex] e [tex] \, q \, [/tex] números naturais e [tex]b\ne 0[/tex].)

Mas, nesta Sala, não utilizaremos a ideia da divisão, pois será interessante incluirmos o zero nas nossas discussões iniciais, e introduziremos uma sétima nomenclatura diferente para tratarmos de pares de números naturais [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] tais que exista um número natural [tex]t[/tex] de modo que [tex]a=t\times b[/tex]. Esta sétima e clássica nomenclatura da Teoria dos Números e a sua, não menos clássica, notação são apresentadas na definição a seguir.

Cuidado para não confundir a notação [tex] \, \, b \mid a[/tex] com a notação [tex] \, \, b/a[/tex]. A primeira indica a relação de divisibilidade, enquanto que a segunda pode indicar a fração [tex]\frac{b}{a}[/tex]. Observem os exemplos a seguir.

• [tex]5 \mid 15[/tex], pois [tex]15=3\times 5[/tex] e [tex]3 \in \mathbb{N}[/tex].
• Mas [tex]15 \nmid 5[/tex], pois não existe um número natural [tex]t[/tex] tal que [tex]5=t\times 15[/tex]. Com efeito, observem que

● se [tex]t=0[/tex], então [tex]t\times 15=0\ne 5[/tex];
● se [tex]t=1[/tex], então [tex]t\times 15=15\ne 5[/tex];
● se [tex]t\gt 1[/tex], então [tex]t\times 15\gt 15\gt 5[/tex] e, assim, [tex]t\times 15\ne 5[/tex].

• [tex]1 \mid n[/tex], [tex]\forall n \in \mathbb{N}[/tex] (para todo número natural [tex]n[/tex]), já que [tex]n = 1\times n[/tex], [tex]\forall n \in \mathbb{N}[/tex].
• [tex]0 \mid 0[/tex], pois, por exemplo, [tex]0=7\times 0 \, [/tex] e [tex] \, 7 \in \mathbb{N}[/tex].
• Se [tex]a[/tex] é um número natural qualquer, [tex]a \mid a[/tex], uma vez que [tex]a=1\times a, \, \forall a\in \mathbb{N}[/tex] e [tex] \, 1 \in \mathbb{N}[/tex]. Particularmente, se [tex]a=0[/tex], chegamos à mesma conclusão do exemplo anterior: [tex]0 \mid 0[/tex].

Observações:
1) Nesta Sala, também denotaremos o produto do número [tex]m[/tex] pelo número [tex]n[/tex] por [tex]m\cdot n[/tex] ou, simplesmente, por [tex]mn[/tex].
2) Se [tex] \, b \mid a \, [/tex] e [tex]b\ne0[/tex], então o número natural [tex]t[/tex] tal que [tex]a=tb[/tex] é único. Com efeito, vamos considerar que exista outro número natural [tex]k[/tex] tal que [tex]a=kb[/tex], neste caso, teríamos que [tex]kb=tb[/tex]. Mas, estamos supondo [tex]b\ne0[/tex]; logo, cancelamos o [tex]b[/tex] e obtemos, necessariamente, que [tex]k=t[/tex]. Dessa forma, mesmo que quiséssemos “fabricar” um [tex]k[/tex] diferente, isso não seria possível!

O único número natural [tex]t[/tex] tal que [tex]a=tb[/tex], [tex]b\ne0[/tex], chama-se quociente de [tex]a[/tex] por [tex]b[/tex] e pode ser indicado por [tex]\dfrac{a}{b}[/tex].

3) Já observamos que [tex]0 \mid 0[/tex], mas notem que, particularmente, [tex]0=1\times 0[/tex]; [tex]0=3\times 0[/tex]; [tex]0=27\times 0[/tex]; [tex]0=18745\times 0[/tex]; ou seja, o número natural [tex]t[/tex] tal que [tex]0=t\times 0[/tex] claramente não é único! Assim, não existe o quociente de [tex]0[/tex] por [tex]0[/tex] e portanto, neste contexto, [tex]0 \mid 0[/tex], mas o símbolo [tex]\dfrac{0}{0} [/tex] não está definido.
4) Devido à não unicidade tratada na observação anterior e ao fato de que
[tex]\qquad \qquad \quad \quad 0 \mid a[/tex] se, e somente se, [tex]a=0[/tex],
é comum não trabalhar com o zero como divisor. Dessa forma, daqui por diante admitiremos que todos os divisores considerados são diferentes de zero, mesmo que isso não seja explicitamente dito.
5) Mesmo com a possibilidade de termos [tex]b=0[/tex], ainda podemos utilizar as expressões:
• [tex]b[/tex] é um divisor de [tex]a[/tex];
• [tex]b[/tex] é um fator de [tex]a[/tex];
• [tex]a[/tex] é um múltiplo de [tex]b[/tex].
No entanto, as outras três expressões:
• a divisão de [tex]a[/tex] por [tex]b[/tex] tem resto [tex]0[/tex];
• a divisão de [tex]a[/tex] por [tex]b[/tex] é exata;
• [tex]a[/tex] é divisível por [tex]b[/tex]
não podem ser utilizadas, se [tex]b=0[/tex].

Algumas observações sobre a linguagem matemática

Na matemática, as palavras têm sentido preciso, já que as informações matemáticas devem ser expressas com exatidão, sem ambiguidades. A linguagem matemática tem símbolos próprios que se relacionam segundo regras próprias e não adianta alguém achar que é isso ou aquilo, é necessário, de fato, saber…
Se vocês não têm dificuldades com o uso de linguagem matemática, podem passar para o próximo tópico; caso contrário, é só clicar no próximo botão e aprender um pouco.

Bom proveito ! ! !

Vamos voltar à observação (4) que motivou toda essa discussão e utilizar a discussão sobre o “se, e somente se,” para justificar que, no conjunto dos números naturais, a afirmação
[tex]\qquad \qquad 0 \mid a[/tex] se, e somente se, [tex]a=0[/tex]
é verdadeira.

Agora sim…

Propriedades iniciais da divisibilidade nos naturais

Não vamos, simplesmente, apresentar as propriedades, vamos justificá-las matematicamente. Assim, para cada uma delas vamos fazer uma demonstraçãozinha! Para tentar entendê-las, sigam as orientações abaixo. Bons estudos!

Praticando . . .

Nos dias de hoje, a tecnologia desempenha um papel importante na informação e na educação das pessoas.
A calculadora, por exemplo, é uma ferramenta que faz parte do material escolar de parte dos alunos e pode ajudar com tarefas escolares e, também, com pequenas tarefas do dia a dia. No entanto quem dela se utiliza não deve ter uma confiança cega no que esta ferramenta produz. Por mais avançada e moderna que seja, uma calculadora tem limitações naturais inerentes à sua natureza eletrônica.
Se for “para adiantar o serviço” e ficar com mais tempo para raciocinar, generalizar e tirar conclusões, cálculos rotineiros e enfadonhos que vocês já entendam como são feitos podem ser feito com uma calculadora. Mas, mesmo nesses casos, é bom ficarmos atentos, pois a quantidade de dígitos que o visor de uma calculadora comporta é limitada; assim, corremos dois riscos:

• um determinado número a ser utilizado não cabe no visor;
• pode acontecer de a calculadora exibir como resultado final um arredondamento; o que não faz sentido, por exemplo, para a divisibilidade, que trabalha com números naturais ou inteiros.

Sugerimos que vocês conversem com seus respectivos professores de matemática sobre esse assunto, mas não tenham preguiça de fazer cálculos do mesmo tipo várias vezes, pois isso vai ajudá-los quando a calculadora falhar ou, mesmo, não estiver presente.
Só para um exemplo dessa última observação, peguem uma calculadora de dez dígitos e tentem determinar quantos divisores o número [tex]981663141888[/tex] tem. Mesmo que vocês trabalhem com uma máquina de calcular que tenha mais dígitos, imaginem o tempo que cada um de vocês levaria para fazer todas as divisões necessárias para responder a essa pergunta…
Esse e outros problemas interessantes vocês poderão encontrar clicando nos botões a seguir.

Bons estudos!

Boa diversão ! ! !