.Teoria dos Números – Um pouco sobre divisibilidade (Parte 2)



Um pouco sobre divisibilidade

Parte 2 – Divisibilidade nos naturais



Nesta Sala, apresentaremos o conceito de divisibilidade e aprofundaremos um pouco mais o nosso conhecimento a respeito dos números naturais.
Utilizaremos uma linguagem mais formal do que aquela utilizada pela maioria de vocês e trabalharemos com o “jeito matemático da matemática“.

A divisibilidade é a continuação natural da discussão sobre múltiplos e divisores. Então, neste tópico, vamos continuar falando de múltiplos e divisores, só que de um jeito diferente.

Apresentando a divisibilidade nos números naturais


Observem, mais uma vez, que quase toda a discussão da Sala anterior pode ser feita a partir da divisão de um número natural [tex]a[/tex] por um número natural não nulo [tex]b[/tex].

[tex]a~[/tex] [tex]~~~~b[/tex]
[tex]r [/tex] [tex]~~~q~~~~~[/tex]

Em particular, se [tex]r=0[/tex], temos que [tex]a=q\times b[/tex] e podemos relacionar os números [tex]a[/tex] e [tex]b~[/tex] dizendo que:

  • a divisão de [tex]a[/tex] por [tex]b[/tex] tem resto [tex]0[/tex];
  • a divisão de [tex]a[/tex] por [tex]b[/tex] é exata;
  • [tex]a[/tex] é divisível por [tex]b[/tex];
  • [tex]a[/tex] é um múltiplo de [tex]b[/tex];
  • [tex]b[/tex] é um divisor de [tex]a[/tex];
  • [tex]b[/tex] é um fator de [tex]a[/tex].

(Seis nomenclaturas para designar o mesmo fato: [tex]a=q\times b[/tex], com [tex]a[/tex], [tex]~b~[/tex] e [tex]~q~[/tex] números naturais e [tex]b\ne 0[/tex].)

Mas, nesta Sala, não utilizaremos a ideia da divisão, pois será interessante incluirmos o zero nas nossas discussões iniciais, e introduziremos uma sétima nomenclatura diferente para tratarmos de pares de números naturais [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] tais que exista um número natural [tex]t[/tex] de modo que [tex]a=t\times b[/tex]. Esta sétima e clássica nomenclatura da Teoria dos Números e a sua, não menos clássica, notação são apresentadas na definição a seguir.

Definição: Sejam [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] números naturais quaisquer.
Diremos que [tex]b[/tex] divide [tex]a[/tex] quando existir um número natural [tex]t[/tex] de modo que [tex]a=t\times b[/tex].
Assim, diremos que [tex]b[/tex] não divide [tex]a[/tex] quando [tex]b[/tex] não puder ser escrito na forma [tex]a=t\times b[/tex], com [tex]t\in\mathbb{N}[/tex].
Para esses dois casos, utilizaremos as notações:

  • [tex]~~b \mid a[/tex], para indicar que [tex]b[/tex] divide [tex]a[/tex];
  • [tex]~~b \nmid a[/tex], para indicar que [tex]b[/tex] não divide [tex]a[/tex].

A relação entre dois números naturais aqui definida é denominada divisibilidade em [tex] \mathbb{N}[/tex].

Cuidado para não confundir a notação [tex]~~b \mid a[/tex] com a notação [tex]~~b/a[/tex]. A primeira indica a relação de divisibilidade, enquanto que a segunda pode indicar a fração [tex]\frac{b}{a}[/tex]. Observem os exemplos a seguir.

  • [tex]5 \mid 15[/tex], pois [tex]15=3\times 5[/tex] e [tex]3 \in \mathbb{N}[/tex].
  • Mas [tex]15 \nmid 5[/tex], pois não existe um número natural [tex]t[/tex] tal que [tex]5=t\times 15[/tex]. Com efeito, observem que

● se [tex]t=0[/tex], então [tex]t\times 15=0\ne 5[/tex];
● se [tex]t=1[/tex], então [tex]t\times 15=15\ne 5[/tex];
● se [tex]t\gt 1[/tex], então [tex]t\times 15\gt 15\gt 5[/tex] e, assim, [tex]t\times 15\ne 5[/tex].

  • [tex]1 \mid n[/tex], [tex]\forall n \in \mathbb{N}[/tex] (para todo número natural [tex]n[/tex]), já que [tex]n = 1\times n[/tex], [tex]\forall n \in \mathbb{N}[/tex].
  • [tex]0 \mid 0[/tex], pois, por exemplo, [tex]0=7\times 0~[/tex] e [tex]~7 \in \mathbb{N}[/tex].
  • Se [tex]a[/tex] é um número natural qualquer, [tex]a \mid a[/tex], uma vez que [tex]a=1\times a,~\forall a\in \mathbb{N}[/tex] e [tex]~1 \in \mathbb{N}[/tex]. Particularmente, se [tex]a=0[/tex], chegamos à mesma conclusão do exemplo anterior: [tex]0 \mid 0[/tex].

Observações:
1) Nesta Sala, também denotaremos o produto do número [tex]m[/tex] pelo número [tex]n[/tex] por [tex]m\cdot n[/tex] ou, simplesmente, por [tex]mn[/tex].
2) Se [tex]~b \mid a~[/tex] e [tex]b\ne0[/tex], então o número natural [tex]t[/tex] tal que [tex]a=tb[/tex] é único. Com efeito, vamos considerar que exista outro número natural [tex]k[/tex] tal que [tex]a=kb[/tex], neste caso, teríamos que [tex]kb=tb[/tex]. Mas, estamos supondo [tex]b\ne0[/tex]; logo, cancelamos o [tex]b[/tex] e obtemos, necessariamente, que [tex]k=t[/tex]. Dessa forma, mesmo que quiséssemos “fabricar” um [tex]k[/tex] diferente, isso não seria possível!

O único número natural [tex]t[/tex] tal que [tex]a=tb[/tex], [tex]b\ne0[/tex], chama-se quociente de [tex]a[/tex] por [tex]b[/tex] e pode ser indicado por [tex]\dfrac{a}{b}[/tex].

3) Já observamos que [tex]0 \mid 0[/tex], mas notem que, particularmente, [tex]0=1\times 0[/tex]; [tex]0=3\times 0[/tex]; [tex]0=27\times 0[/tex]; [tex]0=18745\times 0[/tex]; ou seja, o número natural [tex]t[/tex] tal que [tex]0=t\times 0[/tex] claramente não é único! Assim, não existe o quociente de [tex]0[/tex] por [tex]0[/tex] e portanto, neste contexto, [tex]0 \mid 0[/tex], mas o símbolo [tex]\dfrac{0}{0} [/tex] não está definido.
4) Devido à não unicidade tratada na observação anterior e ao fato de que
[tex]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~0 \mid a[/tex] se, e somente se, [tex]a=0[/tex],
é comum não trabalhar com o zero como divisor. Dessa forma, daqui por diante admitiremos que todos os divisores considerados são diferentes de zero, mesmo que isso não seja explicitamente dito.
5) Mesmo com a possibilidade de termos [tex]b=0[/tex], ainda podemos utilizar as expressões:
• [tex]b[/tex] é um divisor de [tex]a[/tex];
• [tex]b[/tex] é um fator de [tex]a[/tex];
• [tex]a[/tex] é um múltiplo de [tex]b[/tex].
No entanto, as outras três expressões:
• a divisão de [tex]a[/tex] por [tex]b[/tex] tem resto [tex]0[/tex];
• a divisão de [tex]a[/tex] por [tex]b[/tex] é exata;
• [tex]a[/tex] é divisível por [tex]b[/tex]
não podem ser utilizadas, se [tex]b=0[/tex].

A convenção da observação (4) eu entendi, mas a sua justificativa eu não entendi muito bem. Eu sei que esse “se e somente se” é muito utilizado na matemática, mas eu não sei, de fato, o que ele significa . . .

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Não se preocupe, vamos falar um pouquinho sobre linguagem matemática antes de prosseguirmos.

Algumas observações sobre a linguagem matemática


Na matemática, as palavras têm sentido preciso, já que as informações matemáticas devem ser expressas com exatidão, sem ambiguidades. A linguagem matemática tem símbolos próprios que se relacionam segundo regras próprias e não adianta alguém achar que é isso ou aquilo, é necessário, de fato, saber…
Se vocês não têm dificuldades com o uso de linguagem matemática, podem passar para o próximo tópico; caso contrário, é só clicar no próximo botão e aprender um pouco.

Bom proveito ! ! !




Vamos voltar à observação (4) que motivou toda essa discussão e utilizar a discussão sobre o “se, e somente se,” para justificar que, no conjunto dos números naturais, a afirmação
[tex]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~0 \mid a[/tex] se, e somente se, [tex]a=0[/tex]
é verdadeira.

Em símbolos, podemos escrever a afirmação “[tex]~0 \mid a[/tex] se, e somente se, [tex]a=0[/tex]” como “[tex]~0 \mid a \Leftrightarrow a=0[/tex]”. De qualquer forma, temos que garantir duas implicações:
[tex]~0 \mid a \Rightarrow a=0~~~~~~~~~~~~[/tex] e [tex]~~~~~~~~~~~~ a=0\Rightarrow 0 \mid a[/tex],
vejamos.
(i) Mostraremos, inicialmente, a primeira implicação. Para isso temos que garantir que, se [tex]a[/tex] é número natural tal que [tex]~0 \mid a [/tex], então, necessariamente, [tex]a=0[/tex].
Com efeito, seja [tex]a[/tex] um número natural tal que [tex]~0 \mid a [/tex]. Assim, por definição de divisibilidade, existe um número natural [tex]k[/tex] tal que [tex]a=k\cdot 0[/tex].
Mas sabemos que [tex]k\cdot 0=0[/tex]; logo, [tex]a= 0[/tex].

(ii) Mostraremos, agora, a segunda das duas implicações.
Suponhamos, então, que [tex]~a=0[/tex].
Já vimos que [tex]~0 \mid 0 [/tex], logo, como [tex]~a=0[/tex], então [tex]~0 \mid a [/tex].
Por (i) e (ii), podemos concluir que
[tex]~~~~~~~~~~~~~~~0 \mid a \Leftrightarrow a=0[/tex],
ou seja, que [tex]~0 \mid a[/tex] se, e somente se, [tex]a=0[/tex].




Agora sim…

carinha1

A seguir, vamos apresentar as primeiras propriedades satisfeitas pela relação de divisibilidade no conjunto dos números naturais. Elas são importantes, pois são utilizadas na demonstração de outras proposições e na solução de muitos problemas. Portanto, guardem-nas para uso no futuro . . .

Propriedades iniciais da divisibilidade nos números naturais


Não vamos, simplesmente, apresentar as propriedades, vamos justificá-las matematicamente. Assim, para cada uma delas vamos fazer uma demonstraçãozinha! Para tentar entendê-las, sigam as orientações abaixo.
Bons estudos!

Orientações iniciais para o estudo das propriedades

Para cada propriedade:

  • Pegar papel e lápis, ler com bastante atenção o enunciado e fazer vários exemplos numéricos para entender o que esse enunciado está garantindo.
  • Em seguida, tentar utilizar as definições para sair dos exemplos particulares utilizados. E não faz mal se não conseguir fazer isso: o importante é botar a cabeça para funcionar e amadurecer os conceitos.
  • Ler com cuidado a demonstração apresentada.
  • Tentar reproduzir a demonstração apresentada.
  • Tentar fazer uma demonstração da propriedade diferente da apresentada.

Todas as propriedades são do tipo
se [tex]P[/tex], então [tex]Q[/tex];
portanto, em suas justificativas, admitiremos que [tex]P[/tex] ocorre e, utilizando argumentos matemáticos, concluiremos que também ocorre [tex]Q[/tex].



Propriedades iniciais da divisibilidade nos números naturais


Sejam [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] números naturais não nulos e [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex] números naturais quaisquer. Então:

Propriedade 1: Se [tex]a \mid b[/tex] e [tex]b \mid a[/tex], então [tex]a=b[/tex].

● Para cada número natural não nulo [tex]a[/tex], o único número natural não nulo [tex]b[/tex] que é, simultaneamente, múltiplo e divisor de [tex]a[/tex] é o próprio [tex]a[/tex].

Se [tex]a \mid b[/tex] e [tex]b \mid a[/tex], então, por definição, existem números naturais [tex]t[/tex] e [tex]k[/tex] tais que [tex]b= ta[/tex] e [tex]a=kb[/tex].
Dessa forma, [tex]a=k(ta)=(kt)a[/tex]. Mas [tex]a\ne 0[/tex]; logo, de [tex]a=(kt)a[/tex], segue que [tex]kt=1[/tex].
No entanto [tex]t[/tex] e [tex]k[/tex] são números naturais; portanto, [tex]kt=1[/tex] só é possível se [tex]k=t=1[/tex] e, assim, de [tex]b= ta[/tex] (ou [tex]a=kb[/tex]) segue que [tex]a=b[/tex].

Propriedade 2: Se [tex]a \mid b[/tex] e [tex]b \mid m[/tex], então [tex]a \mid m[/tex].

● Divisor de divisor é divisor: se [tex]a[/tex] é divisor de [tex]b[/tex] e [tex]b[/tex] é divisor de [tex]m[/tex], então [tex]a[/tex] é divisor de [tex]m[/tex].
● Múltiplo de múltiplo é múltiplo: se [tex]m[/tex] é múltiplo de [tex]b[/tex] e [tex]b[/tex] é múltiplo de [tex]a[/tex], então [tex]m[/tex] é múltiplo de [tex]a[/tex].
● Essa propriedade é conhecida por transitividade da divisibilidade.

Se [tex]a \mid b[/tex] e [tex]b \mid m[/tex], então, por definição, existem números naturais [tex]t[/tex] e [tex]k[/tex] de modo que [tex]b= ta[/tex] e [tex]m=kb[/tex].
Assim, temos que
[tex]~~m=k(ta)=(kt)a[/tex].[tex]~~~~~~~~~~~(i)[/tex]
Mas como [tex]t[/tex] e [tex]k[/tex] são números naturais, então [tex]x=kt[/tex] também será um número natural, já que o produto de dois números naturais é um número natural.
Dessa forma, por [tex]~(i)~[/tex], temos que [tex]m=xa[/tex], com [tex]x\in \mathbb{N}[/tex]. Portanto, por definição, [tex]a \mid m[/tex].

Propriedade 3: Se [tex]a \mid m[/tex] e [tex]a \mid n[/tex], então [tex]a \mid m+n[/tex].

● A soma de múltiplos é um múltiplo: se [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex] são múltiplos de [tex]a[/tex], então a soma [tex]m+n[/tex] é também um múltiplo de [tex]a[/tex].
● Se [tex]a[/tex] é divisor de [tex]m[/tex] e de [tex]n[/tex], então [tex]a[/tex] é divisor da soma [tex]m+n[/tex].

Se [tex]a \mid m[/tex] e [tex]a \mid n[/tex], então, por definição, existem números naturais [tex]t[/tex] e [tex]k[/tex] de modo que [tex]m= ta[/tex] e [tex]n=ka[/tex].
Assim, temos que
[tex]~~m+n=ta+ka=(t+k)a [/tex].[tex]~~~~~~~~~~~(i)[/tex]
Mas como [tex]t[/tex] e [tex]k[/tex] são números naturais, então [tex]z=t+k[/tex] também será um número natural, já que a soma de dois números naturais é um número natural.
Dessa forma, por [tex]~(i)~[/tex], temos que [tex]m+n=za[/tex], com [tex]z\in \mathbb{N}[/tex].
Portanto, por definição, [tex]a \mid m+n[/tex].

Propriedade 4: Se [tex]a \mid m[/tex], então [tex]a \mid mn[/tex].

● Se [tex]a[/tex] divide [tex]m[/tex], então [tex]a[/tex] divide qualquer múltiplo de [tex]m[/tex].
● Se [tex]a[/tex] é divisor de [tex]m[/tex], então [tex]a[/tex] divide todo múltiplo de [tex]m[/tex].

Se [tex]a \mid m[/tex], então, por definição, existe um número natural [tex]k[/tex] tal que [tex]m= ka[/tex]. Então, para qualquer número natural [tex]n[/tex], temos que [tex]mn= (ka)n=(kn)a[/tex].
Dessa forma, se fizermos [tex]kn=t[/tex], então teremos que [tex]mn= ta[/tex], com [tex]t\in \mathbb{N}[/tex], e isso é suficiente para garantir que [tex]a \mid mn[/tex].

Propriedade 5: Se [tex]a \mid m[/tex] e [tex]a \mid n[/tex], então [tex]a \mid xm+yn[/tex], para quaisquer números naturais [tex]x~[/tex] e [tex]~y[/tex].

● Se [tex]a[/tex] é divisor de [tex]m[/tex] e de [tex]n[/tex], então [tex]a[/tex] é divisor da soma entre os produtos [tex]xm[/tex] e [tex]yn[/tex], para quaisquer números naturais [tex]x~[/tex] e [tex]~y[/tex].

Essa justificativa poderia ser feita a partir da definição de divisibilidade, como feito nas propriedades anteriores, mas vamos utilizar as propriedades 3 e 4 para fazê-la.
Assim, suponhamos que [tex]a[/tex] seja um divisor de [tex]m[/tex] e de [tex]n[/tex].
Portanto, se [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] são números naturais, então, pela propriedade 4, temos que [tex]a \mid xm[/tex] e [tex]a \mid yn[/tex].
Como, agora, temos que [tex]a \mid xm[/tex] e [tex]a \mid yn[/tex], utilizamos a propriedade 3 para concluir que [tex]a[/tex] é divisor da soma entre [tex] xm[/tex] e [tex] yn[/tex].
Assim, podemos afirmar que [tex]a \mid xm+yn[/tex], para [tex]x,y\in\mathbb{N}[/tex].

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Vamos discutir, agora, algumas maneiras de sabermos se um número natural [tex]a[/tex] é divisor de outro, sem realizar a divisão entre eles.

É o que eu estou esperando!

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É divisor?


O nosso objetivo neste tópico será o de discutir maneiras que nos permitam decidir se um número natural [tex]d[/tex] divide ou não um dado número natural [tex]a[/tex], sem realizar a divisão de [tex] a[/tex] por [tex]d[/tex] .
Apresentaremos dois caminhos, cada um deles baseados em maneiras distintas de representarmos os números naturais.

Vamos lá?




Inicialmente, vamos estabelecer alguns dos chamados “Critérios de Divisibilidade“.
Fixado um número natural não nulo [tex]d[/tex], um critério de divisibilidade por [tex]d[/tex] é uma condição necessária e suficiente para que um número seja divisível por [tex]d[/tex]. Assim, os critérios de divisibilidade são regras que nos permitem concluir se um número natural é ou não divisível por determinados números naturais.
Mas antes da apresentação, uma observação: quando se apresenta, simplesmente, uma regra, ou um macete, talvez alguém possa se perguntar:
De onde saiu essa regra?
Ela funciona sempre?
Ela foi testada?
Será que, de repente, não vou encontrar algum caso particular para o qual ela não funciona?
Para tentar evitar que alguém fique com esse tipo de pergunta na cabeça, cada critério apresentado será acompanhado de, pelo menos, uma justificativa.
Para conferir os critérios de divisibilidade por [tex]2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9[/tex] e [tex]10[/tex] e suas justificativas, cliquem no próximo botão.

Quem preferir somente conhecer vários critérios, sem suas respectivas justificativas, é só clicar nos próximos botões: para apenas consultar, clique no botão da esquerda; para baixar o arquivo, clique no botão da direita.







Uma maneira eficaz de se procurar divisores de um número natural [tex]n[/tex], [tex]n\gt 1[/tex] é analisar a representação de [tex]n[/tex] como produto de números primos.
Vejamos alguns exemplos para ter certeza da eficácia desse caminho. Para isso, consideremos o número natural [tex]1008=2^4\cdot 3^2\cdot 7[/tex].

  • [tex]1008[/tex] é divisível por [tex]2[/tex] ?
    Sim, já que [tex]1008=2\cdot(\underbrace{2^3\cdot 3^2\cdot 7}_k)~[/tex] e, então, [tex]1008=2k[/tex], com [tex]k \in \mathbb{N}[/tex].
  • [tex]1008[/tex] é divisível por [tex]9[/tex] ?
    Sim, já que [tex]1008=3^2\cdot(\underbrace{2^4\cdot 7}_t)~[/tex] e, então, [tex]1008=9t[/tex], com [tex]t \in \mathbb{N}[/tex].
  • [tex]1008[/tex] é divisível por [tex]21[/tex] ?
    Sim, já que [tex]1008=3\cdot 7\cdot(\underbrace{2^4\cdot 3}_z)~[/tex] e, então, [tex]1008=21z[/tex], com [tex]z \in \mathbb{N}[/tex].
  • [tex]1008[/tex] é divisível por [tex]5[/tex] ?
    Não, pois a decomposição de [tex]1008[/tex] não contém o fator primo [tex]5[/tex].
  • [tex]1008[/tex] é divisível por [tex]504[/tex] ?
    Sim. Observe que [tex]1008=2^4\cdot 3^2\cdot 7[/tex] e [tex]504=2^3\cdot 3^2\cdot 7[/tex]; portanto, [tex]1008=2\cdot(2^3\cdot 3^2\cdot 7)=2\times 504[/tex].

Observem que o método apresentado é muito simples, desde que tenhamos em mãos os números a serem analisados escritos como produtos de fatores primos. Assim, cabem duas perguntas:

(1) Todo número natural pode ser escrito como produto de números primos?
(2) Em caso positivo, como obter essa decomposição em fatores primos?

As respostas para essas duas perguntas
vocês podem encontrar clicando no botão abaixo.




E para relaxar, que tal um joguinho?

São muitos critérios…
Fiquei aqui pensando: não podemos utilizar uma calculadora e fazer a divisão de [tex]a[/tex] por [tex]b[/tex] para saber se [tex]b[/tex] divide [tex]a[/tex] ?

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Sim, mas com os devidos cuidados quanto às limitações do visor e da memória da maquina que você estiver utilizando…
Vamos comentar sobre isso antes de propormos alguns problemas.

Praticando . . .


Nos dias de hoje, a tecnologia desempenha um papel importante na informação e na educação das pessoas.
A calculadora, por exemplo, é uma ferramenta que faz parte do material escolar de parte dos alunos e pode ajudar com tarefas escolares e, também, com pequenas tarefas do dia a dia. No entanto quem dela se utiliza não deve ter uma confiança cega no que esta ferramenta produz. Por mais avançada e moderna que seja, uma calculadora tem limitações naturais inerentes à sua natureza eletrônica.
Se for “para adiantar o serviço” e ficar com mais tempo para raciocinar, generalizar e tirar conclusões, cálculos rotineiros e enfadonhos que vocês já entendam como são feitos podem ser feito com uma calculadora. Mas, mesmo nesses casos, é bom ficarmos atentos, pois a quantidade de dígitos que o visor de uma calculadora comporta é limitada; assim, corremos dois riscos:

  • um determinado número a ser utilizado não cabe no visor;
  • pode acontecer de a calculadora exibir como resultado final um arredondamento; o que não faz sentido, por exemplo, para a divisibilidade, que trabalha com números naturais ou inteiros.

Sugerimos que vocês conversem com seus respectivos professores de matemática sobre esse assunto, mas não tenham preguiça de fazer cálculos do mesmo tipo várias vezes, pois isso vai ajudá-los quando a calculadora falhar ou, mesmo, não estiver presente.
Só para um exemplo dessa última observação, peguem uma calculadora de dez dígitos e tentem determinar quantos divisores o número [tex]981663141888[/tex] tem. Mesmo que vocês trabalhem com uma máquina de calcular que tenha mais dígitos, imaginem o tempo que cada um de vocês levaria para fazer todas as divisões necessárias para responder a essa pergunta…
Esse e outros problemas interessantes vocês poderão encontrar clicando nos botões a seguir.

Bons estudos!

Boa diversão ! ! !

A ideia de divisibilidade pode ser estendida para números inteiros.
Em breve discutiremos como. A G U A R D E M ! ! !



Equipe COM – OBMEP

Referências:
DOMINGUES, H. H., Fundamentos de Aritmética. São Paulo: Atual Editora, 1991.
FOMIN, D; GENKIN, S.; ITENBERG, I., Círculos Matermáticos. Rio de Janeiro: IMPA, 2010.
HEFEZ, A., Elementos de Aritmética. Coleção Textos Universitários. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2005.
MILIES, C. P.; COELHO, S. P., Números: Uma Introdução à Matemática. São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 2001.
MUNIZ NETO, A. C., Tópicos de Matemática Elementar: teoria dos números. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2012.

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