Um pouco sobre divisibilidade – Divisibilidade nos naturais: Problemas
Divisibilidade nos naturais
Problemas
Problema 1: Existem números naturais [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] tais que [tex]a \mid bc[/tex], mas [tex]a \nmid b[/tex] e [tex]a \nmid c[/tex] ? Justificar a resposta.
Problema 2: Sejam [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] números naturais, com [tex]c\ne0[/tex]. Mostrar que [tex]a \mid b[/tex] se, e somente se, [tex]ac \mid bc[/tex].
Problema 3: Determinar todos os números naturais múltiplos de [tex]5[/tex] de três algarismos cuja soma é [tex]19[/tex].
Problema 4: Determinar um número natural [tex]n[/tex] de quatro algarismos que somado à soma de seus algarismos resulte [tex]2603[/tex].
Problema 5: Quantos múltiplos de [tex]3[/tex], com quatro algarismos distintos, podem ser formados com [tex]2, \, 3, \, 4, \, 6 \, [/tex] e [tex] \, 9[/tex] ?
Problema 6: (Olimpíada de Maio – 2006) Encontre todos os naturais m e n tais que [tex]m\mid n + 1[/tex] e [tex]n\mid m + 1[/tex].
Problema 7: Um número com cem algarismos iguais a [tex]0[/tex], cem algarismos iguais a [tex]1[/tex] e cem algarismos iguais a [tex]2[/tex] pode ser um quadrado perfeito?
Problema 8: Um número com trinta algarismos iguais a [tex]0[/tex], trinta algarismos iguais a [tex]1[/tex] e trinta algarismos iguais a [tex]2[/tex] pode ser um quadrado perfeito?
Problema 9: Encontre todos os números naturais [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] tais que [tex]x^2-y^2=37[/tex].
Problema 10: Suponha [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] números naturais. Mostre que se [tex]3 \mid a + 7b[/tex] então [tex]3 \mid a + b[/tex].
Problema 11: (OBM 2000) É possível encontrar duas potências de [tex]2[/tex], distintas e com o mesmo número de algarismos, tais que uma possa ser obtida da outra por meio de uma reordenação dos dígitos?
Problema 12: O número de seis dígitos [tex]X = abcdef [/tex] satisfaz a propriedade de que [tex] abc − def [/tex] é divisível por [tex]7[/tex].
Prove que [tex]X[/tex] também é divisível por [tex]7[/tex].
Problema 13: Dado um número de dois algarismos [tex]n=ab[/tex], mostrar que [tex]ab + ba[/tex] é múltiplo de 11.
Problema 14: Determine o algarismo das unidades do número [tex]1\times 3\times 5\times 7\times \, \cdots \, \times 2013[/tex].
Problema 15: Qual o valor de [tex]\alpha[/tex] para que o número de cinco algarismos [tex]50\alpha 2\alpha[/tex] seja divisível por [tex]66[/tex]?
Problema 16: Seja o número [tex]m = 488a9b[/tex], sendo que “[tex]b[/tex]” é o algarismo das unidades e “[tex]a[/tex]” o algarismo das centenas.
Sabendo-se que [tex]m[/tex] é divisível por [tex]45[/tex], então [tex]a + b[/tex] é igual a
a) [tex]1 \qquad\qquad[/tex] b) [tex]7 \qquad\qquad[/tex] c) [tex]9 \qquad\qquad[/tex] d) [tex]16 \qquad\qquad[/tex]
As respostas dos problemas 14, 15 e 16 serão apresentados em um vídeo do Portal da Matemática: é só clicar no próximo botão. Terminado o vídeo, não se esqueça de fechar a janelinha que se abriu.
Problema 17: Sendo o número [tex]N=\underbrace{a3ba3b \, \cdots \, a3b}_{51 dígitos} \, [/tex] um múltiplo de [tex]36[/tex], calcule a soma [tex]\boxed{a+b}[/tex], sabendo que [tex]a[/tex] é um número ímpar.
Problema 18: Os critérios de divisibilidade por [tex]4[/tex], [tex]8[/tex] e [tex]16[/tex] admitem uma generalização:
Um número natural [tex]n[/tex] é divisível por [tex]2^r[/tex] se, e somente se, …
Que generalização é essa? Justifique sua resposta.
As potências de [tex]10[/tex], a partir do [tex]100=10^2[/tex], são todas divisíveis por [tex]4[/tex]; mas [tex]10[/tex] não é divisível por [tex]4[/tex]: analisamos os dois últimos algarismos.
As potências de [tex]10[/tex], a partir do [tex]1000=10^3[/tex], são todas divisíveis por [tex]8[/tex]; mas [tex]10[/tex] e [tex]100[/tex] não são divisíveis por [tex]8[/tex]: analisamos os três últimos algarismos.
As potências de [tex]10[/tex], a partir do [tex]10000=10^4[/tex], são todas divisíveis por [tex]16[/tex]; mas [tex]10[/tex], [tex]100[/tex] e [tex]1000[/tex] não são divisíveis por [tex]16[/tex]: analisamos os quatro últimos algarismos.
Problema 19: Encontre todos os número naturais não nulos [tex]x \, [/tex] e [tex] \, y[/tex] tais que [tex] \, \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6}[/tex].
Problema 20: Mostre que o único número natural que divide simultaneamente [tex]2^{16} + 1 \, [/tex] e [tex] \, 2^{32} + 1 \, [/tex] é o [tex] \, 1[/tex].
Problema 21: Os critérios de divisibilidade por [tex]6[/tex], [tex]12[/tex], [tex]14[/tex] e [tex]15[/tex], também, admitem uma generalização.
Que generalização é essa? Justifique sua resposta.
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