Um pouco sobre divisibilidade – Critérios de divisibilidade

• 15638748 é divisível por 2, pois termina em 8.
• 270902902871375986 é divisível por 2, pois termina em 6.
• 7629817 não é divisível por 2, pois termina em 7.
• 2578010587434971 não é divisível por 2, pois termina em 1.

Justificativa 1: Se você tem familiaridade com linguagem matemática e demonstrações, podemos justificar rapidamente esse primeiro critério, observando que se [tex]n[/tex] é um número natural da forma
[tex]\qquad n=a_r\cdot 10^r+a_{r-1}\cdot 10^{r-1}+\cdots+a_2\cdot 10^2+a_1\cdot 10^1+a_0\cdot 10^0[/tex]
então podemos reescrevê-lo na forma [tex]n=10\cdot k+a_0[/tex], com [tex]k\in\mathbb{N}[/tex].
Como [tex]10[/tex] é divisível por [tex]2[/tex], então [tex]n[/tex] será divisível por [tex]2[/tex] se, e somente se, [tex]a_0[/tex] for divisível por [tex]2[/tex]. Como [tex]a_0[/tex] é um algarismo, [tex]a_0[/tex] será divisível por [tex]2[/tex] se, e somente se, [tex]a_0[/tex] for [tex]0[/tex], ou [tex]2[/tex], ou [tex]4[/tex], ou [tex]6[/tex], ou [tex]8[/tex].
Assim, [tex]n[/tex] será divisível por [tex]2[/tex] se, e somente se, terminar em [tex]0[/tex], ou [tex]2[/tex], ou [tex]4[/tex], ou [tex]6[/tex], ou [tex]8[/tex].

Justificativa 2: Vamos fazer uma justificativa mais detalhada deste resultado; para tanto, vamos considerar o número natural [tex]abcde[/tex].
Assim, [tex] \, n=a\cdot 10^4+b\cdot 10^3+c\cdot 10^2+d\cdot 10^1+e\cdot 10^0[/tex], com [tex]a\ne 0[/tex].
Portanto
[tex]\qquad n=a\cdot 10^4+b\cdot 10^3+c\cdot 10^2+d\cdot 10^1+e\\
\qquad n=10\times (a\cdot 10^3+b\cdot 10^2+c\cdot 10^1+d)+e[/tex]
ou seja,
[tex] \qquad n=2\times(5\times (a\cdot 10^3+b\cdot 10^2+c\cdot 10^1+d))+e[/tex].
Assim, se [tex]k=5\times (a\cdot 10^3+b\cdot 10^2+c\cdot 10^1+d)[/tex], então
[tex] \qquad n=2\cdot k+e[/tex], com [tex]k\in\mathbb{N} \, \qquad (i)[/tex]

a)([tex]\Rightarrow[/tex]) Suponha que [tex]n[/tex] seja divisível por [tex]2[/tex].
Assim, [tex]n=2\cdot t[/tex], para algum número natural [tex]t[/tex] e, dessa forma, por [tex](i)[/tex], [tex]e=2\cdot t-2\cdot k=2\cdot (t-k)[/tex].
Observe que [tex]n\ge 2\cdot k[/tex], logo [tex]m=t-k[/tex] é um número natural; assim [tex]e=2\cdot m[/tex], com [tex]m\in\mathbb{N}[/tex], ou seja, [tex]e[/tex] é par.
Mas [tex]e[/tex] é um algarismo, logo as possibilidades de valores para [tex]e[/tex] são [tex]0, \, 2, \, 4, \, 6, \, 8[/tex] e, portanto, [tex]n[/tex] termina em [tex]0[/tex], ou [tex]2[/tex], ou [tex]4[/tex], ou [tex]6[/tex], ou [tex]8[/tex].
Logo, se [tex]n[/tex] é divisível por [tex]2[/tex], então [tex]n[/tex] termina em [tex]0[/tex], ou [tex]2[/tex], ou [tex]4[/tex], ou [tex]6[/tex], ou [tex]8[/tex].
(“[tex]n[/tex] é divisível por [tex]2[/tex]” [tex]\Rightarrow[/tex] “[tex]n[/tex] termina em [tex]0[/tex], ou [tex]2[/tex], ou [tex]4[/tex], ou [tex]6[/tex], ou [tex]8[/tex]”)

b)([tex]\Leftarrow[/tex]) Suponha, agora, que [tex]n[/tex] termina em [tex]0[/tex], ou [tex]2[/tex], ou [tex]4[/tex], ou [tex]6[/tex], ou [tex]8[/tex].
Então, [tex]e[/tex] é par, ou seja, [tex]e=2\cdot x[/tex], para algum número natural [tex]x[/tex] e, dessa forma, por [tex](i)[/tex], [tex]n=2\cdot k+2\cdot x=2\cdot (k+x)[/tex].
Mas [tex]k+x[/tex] é um número natural, portanto [tex]n[/tex] é um múltiplo de [tex]2[/tex] e, então, divisível por [tex]2[/tex].
Logo, se [tex]n[/tex] termina em [tex]0[/tex], ou [tex]2[/tex], ou [tex]4[/tex], ou [tex]6[/tex], ou [tex]8[/tex], então [tex]n[/tex] é divisível por [tex]2[/tex].
( “[tex]n[/tex] terminando em [tex]0[/tex], ou [tex]2[/tex], ou [tex]4[/tex], ou [tex]6[/tex], ou [tex]8[/tex]” [tex]\Rightarrow[/tex] “[tex]n[/tex] divisível por [tex]2[/tex]” )
Por (a) e (b), segue, pois, o critério.

• 3741 é divisível por 3, pois 3+7+4+1=15 e 15 é divisível por 3.
• 100104053 não é divisível por 3, pois 1+0+0+1+0+4+0+5+3=14 e 14 não é divisível por 3.
• 80200010103 é divisível por 3, pois 8+0+2+0+0+0+1+0+1+0+3=15 e 15 é divisível por 3.
• 738295698 não é divisível por 3. Observe que
  7+3+8+2+9+5+6+9+8=57
  e
  5+7=12.
  Como 12 é divisível por 3, 57 é divisível por 3, portanto 738295698 também o é.
• 19274654327498765128376538476253849631 também é divisível por 3. Observe que
  1+9+2+7+4+6+5+4+3+2+7+4+9+8+7+6+5+1+2+8+3+7+6+5+3+8+4+7+6+2+5+3+8+4+9+6+3+1=190
  e
  1+9+0=10.
  Como 10 não é divisível por 3, 190 não é divisível por 3, portanto 19274654327498765128376538476253849631 também não é.

Justificativa 1: Considere [tex]n[/tex] o número natural [tex]abcde[/tex].
Assim,[tex] \, n=a\cdot 10^4+b\cdot 10^3+c\cdot 10^2+d\cdot 10^1+e\cdot 10^0[/tex], com [tex]a\ne 0[/tex].
Como [tex]10^4=10000=9999+1[/tex]; [tex]10^3=1000=999+1[/tex]; [tex]10^2=100=99+1[/tex]; [tex]10^1=10=9+1[/tex]; podemos reescrever [tex]n[/tex] da seguinte forma:
[tex] \qquad n=a\cdot(9999+1)+b\cdot(999+1)+ c\cdot(99+1)+d\cdot(9+1)+e\\
\qquad n=9999\cdot a+a+999\cdot b+b+ 99\cdot c+c+9\cdot d+d+e[/tex]
ou ainda,
[tex] \qquad n=3\cdot (3333\cdot a+333\cdot b+33\cdot c+3\cdot d)+(a+b+c+d+e)[/tex].
Agora, se [tex]k=3333\cdot a+333\cdot b+33\cdot c+3\cdot d \, [/tex] e [tex] \, t=a+b+c+d+e[/tex] então
[tex] \qquad n=3\cdot k+t[/tex], com [tex]k, \, t\in\mathbb{N} \, \qquad (i)[/tex]

a)([tex]\Rightarrow[/tex]) Suponha que [tex]n[/tex] seja divisível por [tex]3[/tex].
Assim, [tex]n=3\cdot x[/tex], para algum número natural [tex]x[/tex] e, dessa forma, por [tex](i)[/tex], [tex]t=3\cdot x-3\cdot k=3\cdot (x-k)[/tex].
Note que [tex]n\ge 3\cdot k[/tex], logo [tex]z=x-k[/tex] é um número natural. Assim [tex]t=3\cdot z[/tex], com [tex]z\in\mathbb{N}[/tex] e, então, [tex]t[/tex] é divisível por [tex]3[/tex].
Mas [tex]t=a+b+c+d+e[/tex], ou seja, [tex]t[/tex] é a soma dos algarismos de [tex]n[/tex]; portanto essa soma é divisível por [tex]3[/tex].
Logo, se [tex]n[/tex] é divisível por [tex]3[/tex], então a soma dos algarismos de [tex]n[/tex] é divisível por [tex]3[/tex].
(“[tex]n[/tex] é divisível por [tex]3[/tex]” [tex]\Rightarrow[/tex] “soma dos algarismos de [tex]n[/tex] é divisível por [tex]3[/tex]”)

b)([tex]\Leftarrow[/tex]) Suponha, agora, que soma dos algarismos de [tex]n[/tex] seja divisível por [tex]3[/tex].
Então, [tex] t=a+b+c+d+e[/tex] é divisível por 3 e, dessa forma, [tex]t=3\cdot x[/tex], para algum número natural [tex]x[/tex] . Portanto, por [tex](i)[/tex], [tex]n=3\cdot k+3\cdot x=3\cdot (k+x)[/tex].
Mas [tex]k+x[/tex] é um número natural, portanto [tex]n[/tex] é um múltiplo de [tex]3[/tex], ou seja, [tex]n[/tex] é divisível por [tex]3[/tex].
Pelo exposto, se a soma dos algarismos de [tex]n[/tex] for divisível por [tex]3[/tex], então [tex]n[/tex] é divisível por [tex]3[/tex].
( “a soma dos algarismos de [tex]n[/tex] divisível por [tex]3[/tex]” [tex]\Rightarrow[/tex] “[tex]n[/tex] divisível por [tex]3[/tex]” )
Portanto, por (a) e (b), segue o critério.

Justificativa 2: Para quem tem familiaridade com a linguagem matemática, a justificativa do critério decorre rapidamente da igualdade [tex](i)[/tex].
[tex] \qquad n=3\cdot k+t[/tex], com [tex]k,t\in\mathbb{N}[/tex].
Nesse caso, bastaria observar que [tex]n=3\cdot k+t[/tex] é divisível por [tex]3[/tex] se, e somente se, [tex]t[/tex] for divisível por [tex]3[/tex]. Como [tex]t[/tex] é a soma dos algarismos de [tex]n[/tex], então [tex]n[/tex] é divisível por [tex]3[/tex] se, e somente se, a soma de seus algarismos for divisível por [tex]3[/tex].

• 1289824 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4.
• 174536358604758633001116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.
• 2487685641567823518 não é divisível por 4, pois 18 não é divisível por 4.
• 7512398756902405975012587434 não é divisível por 4, pois 34 não é divisível por 4.

Justificativa: Faremos uma justificativa rápida observando que, se [tex]n[/tex] é um número natural da forma
[tex] \qquad n=a_r\cdot 10^r+a_{r-1}\cdot 10^{r-1}+\cdots+a_2\cdot 10^2+a_1\cdot 10^1+a_0\cdot 10^0[/tex],
podemos reescrever [tex]n[/tex] como
[tex] \qquad n=100\cdot k+(a_1\cdot 10+a_0)[/tex], com [tex]k\in\mathbb{N}[/tex],
já que [tex]100=10^2\lt10^3\lt10^4\lt\cdots\lt10^{r-1}\lt 10^r[/tex].
Assim, como [tex]100[/tex] é divisível por [tex]4[/tex], então [tex]n[/tex] será divisível por [tex]4[/tex] se, e somente se, [tex]10\cdot a_1+a_0[/tex] for divisível por [tex]4[/tex].
Mas [tex]a_1\cdot 10+a_0=a_1a_0[/tex], ou seja, o número cujo algarismo das unidades é [tex]a_0[/tex] e o das dezenas é [tex]a_1[/tex]. Com isso, [tex]n[/tex] será divisível por [tex]4[/tex] se, e somente se, o número formado por seus dois últimos algarismos for divisível por [tex]4[/tex].

• 2346560 é divisível por 5, pois termina em 0.
• 98387468597839789354905698115 é divisível por 5, pois termina em 5.
• 889977556699881234 não é divisível por 5, pois termina em 4.
• 18635987356259875410397602397423029737 não é divisível por 5, pois termina em 7.

Justificativa: Esta justificativa é idêntica à anterior; assim, seja [tex]n[/tex] um número natural da forma
[tex] \qquad n=a_r\cdot 10^r+a_{r-1}\cdot 10^{r-1}+\cdots+a_2\cdot 10^2+a_1\cdot 10^1+a_0[/tex].
Se [tex]k=a_r\cdot 10^{r-1}+a_{r-1}\cdot 10^{r-2}+\cdots+a_2\cdot 10+a_1[/tex], podemos reescrever [tex]n[/tex] como
[tex] \qquad n=10\cdot k+a_0[/tex], com [tex]k \in\mathbb{N}[/tex].
Assim, como [tex]10[/tex] é divisível por [tex]5[/tex], então [tex]n[/tex] será divisível por [tex]5[/tex] se, e somente se, [tex]a_0[/tex] for divisível por [tex]5[/tex].
Como [tex]a_0[/tex] é um algarismo, então [tex]a_0[/tex] é divisível por [tex]5[/tex] se, e somente se, [tex]a_0=0[/tex] ou [tex]a_0=5[/tex]. Sendo [tex]a_0[/tex] o algarismo das unidades de [tex]n[/tex], então [tex]n[/tex] será divisível por [tex]5[/tex] se, e somente se, [tex]n[/tex] terminar em [tex]0[/tex] ou em [tex]5[/tex].

• 618024 é divisível por 6, pois
  618024 é divisível por 2 (termina em 4);
  618024 é divisível por 3 (6+1+8+0+2+4=21, que é divisível por 3).

• 87400012 não é divisível por 6, pois, embora seja divisível por 2 (termina em 2), 87400012 não é divisível por 3 (8+7+4+0+0+0+1+2=22 e 22 não é divisível por 3).

• 2451093 não é divisível por 6, pois, embora seja divisível por 3 (2+4+5+1+0+9+3=24 e 24 é divisível por 3), 2451093 não divisível por 2 (termina em 3).

Justificativa: Seja [tex]n[/tex] um número natural. Nesta justificativa não utilizaremos a representação de [tex]n[/tex] no sistema decimal.

a)([tex]\Rightarrow[/tex]) Suponha que [tex]n[/tex] seja divisível por [tex]6[/tex]. Assim, existe um número natural [tex]t[/tex] de modo que [tex]n=6\cdot t[/tex]. Observe que:

• [tex]n=6\cdot t=2\cdot (3\cdot t)[/tex]. Se fizermos [tex]x=3\cdot t[/tex], então [tex]n=2\cdot x[/tex], com [tex]x\in \mathbb{N}[/tex], e assim [tex]n[/tex] é divisível por [tex]2[/tex].
• [tex]n=6\cdot t=3\cdot (2\cdot t)[/tex]. Se fizermos, agora, [tex]z=2\cdot t[/tex], então [tex]n=3\cdot z[/tex], com [tex]z\in \mathbb{N}[/tex], e assim [tex]n[/tex] é divisível por [tex]3[/tex].

Pelo exposto, se [tex]n[/tex] for divisível por [tex]6[/tex], então [tex]n[/tex] será divisível por [tex]2[/tex] e por [tex]3[/tex].
(“[tex]n[/tex] divisível por [tex]6[/tex]” [tex]\Rightarrow[/tex] “[tex]n[/tex] divisível por [tex]2[/tex] e por [tex]3[/tex]”)

b)([tex]\Rightarrow[/tex]) Suponha, agora, que [tex]n[/tex] seja divisível por [tex]2[/tex] e por [tex]3[/tex]. Como [tex]2 \mid n[/tex], então existe [tex]k\in \mathbb{N}[/tex] tal que [tex]n=2\cdot k[/tex].
Mas, note que [tex]3-2=1[/tex], assim [tex]3\cdot k-2\cdot k=k[/tex], donde [tex]3\cdot k-n=k \qquad (i)[/tex].
Por outro lado, existe também [tex]t\in \mathbb{N}[/tex] tal que [tex]n=3\cdot t[/tex], pois [tex]3 \mid n \qquad (ii)[/tex].
Assim, por [tex] (i)[/tex] e [tex] (ii)[/tex] temos que [tex]k=3\cdot k-n=3\cdot k-3\cdot t=3\cdot(k-t)[/tex].
Finalmente, se fizermos [tex]y=k-t[/tex], como [tex]k-t\ge 0[/tex], então [tex]k=3\cdot y[/tex], com [tex]y \in \mathbb{N}[/tex].
Logo, [tex]n=2\cdot k=2\cdot (3\cdot y)=6\cdot y[/tex], com [tex]y \in \mathbb{N}[/tex] e isso garante que [tex]n[/tex] é divisível por [tex]6[/tex].
Concluímos, portanto, que se [tex]n[/tex] for divisível por [tex]2[/tex] e por [tex]3[/tex], então [tex]n[/tex] será divisível por [tex]6[/tex].
(“[tex]n[/tex] divisível por [tex]2[/tex] e por [tex]3[/tex]” [tex]\Rightarrow[/tex] “[tex]n[/tex] divisível por [tex]6[/tex]”)

Por (a) e (b), temos o critério.

• 2088 é divisível por 8, pois 088=88 é divisível por 8.
• 47680114 não é divisível por 8, pois 114 não é divisível por 8.
• 892398745632156789664 é divisível por 8, pois 664 é divisível por 8.
• 859356874523698230002116 não é divisível por 8, pois 116 não é divisível por 8.

Justificativa: Seja [tex]n[/tex] um número natural da forma
[tex] \qquad n=a_r\cdot 10^r+a_{r-1}\cdot 10^{r-1}+\cdots+a_3\cdot 10^3+a_2\cdot 10^2+a_1\cdot 10^1+a_0\cdot 10^0[/tex],
então podemos reescrever [tex]n[/tex] como
[tex] \qquad n=1000\cdot k+(a_2\cdot 10^2+a_1\cdot 10+a_0)[/tex], com [tex]k\in\mathbb{N}[/tex],
já que [tex]1000=10^3\lt10^4\lt10^5\lt\cdots\lt10^{r-1}\lt 10^r[/tex].
Como [tex]1000[/tex] é divisível por [tex]8[/tex], então [tex]n[/tex] será divisível por [tex]8[/tex] se, e somente se, [tex]100\cdot a_2+10 \cdot a_1+a_0[/tex] for divisível por [tex]8[/tex].
Mas [tex]100 \cdot a_2+a_1\cdot 10+a_0=a_2a_1a_0[/tex] é o número cujo algarismo das unidade é [tex]a_0[/tex], o das dezenas é [tex]a_1[/tex] e o algarismo das centenas é [tex]a_2[/tex], assim [tex]n[/tex] será divisível por [tex]8[/tex] se, e somente se, [tex]a_2a_1a_0[/tex] for divisível por [tex]8[/tex].
Isso significa que [tex]n[/tex] será divisível por [tex]8[/tex] se, e somente se, o número formado por seus três últimos algarismos for divisível por [tex]8[/tex].

• 5607801 é divisível por 9, pois 5+6+0+7+8+0+1=27 e 27 é divisível por 9.
• 310579 não é divisível por 9, pois 3+1+0+5+7+9=25 e 25 não é divisível por 9.
• 80200010103 não é divisível por 9, pois 8+0+2+0+0+0+1+0+1+0+3=15 e 15 não é divisível por 9 (embora 15 seja divisível por 3 e, consequentemente, o número 80200010103 seja divisível por 3).
• 347382956988716576985 é divisível por 9. Observe que
  3+4+7+3+8+2+9+5+6+9+8+8+7+1+6+5+7+6+9+8+5=126
  e
  1+2+6=9.
  Como 9 é divisível por 9, 126 é divisível por 9, portanto 347382956988716576985 também o é.
• 29174654327498765128376538476253849637 não é divisível por 9. Observe que
  2+9+1+7+4+6+5+4+3+2+7+4+9+8+7+6+5+1+2+8+3+7+6+5+3+8+4+7+6+2+5+3+8+4+9+6+3+7=196
  e
  1+9+6=16.
  Como 16 não é divisível por 9, 196 não é divisível por 9; portanto 29174654327498765128376538476253849637 também não é divisível por 9.

As duas justificativas que faremos são idênticas às que fizemos no Critério para Divisibilidade por [tex]3[/tex].
Justificativa 1: Considere [tex]n[/tex] o número natural [tex]abcde[/tex]. Assim,[tex] \, n=a\cdot 10^4+b\cdot 10^3+c\cdot 10^2+d\cdot 10^1+e\cdot 10^0[/tex], com [tex]a\ne 0[/tex].
Como [tex]10^4=10000=9999+1[/tex]; [tex]10^3=1000=999+1[/tex]; [tex]10^2=100=99+1[/tex]; [tex]10^1=10=9+1[/tex]; podemos reescrever [tex]n[/tex] assim:
[tex] \qquad n=a\cdot(9999+1)+b\cdot(999+1)+ c\cdot(99+1)+d\cdot(9+1)+e\\
\qquad n=9999\cdot a+a+999\cdot b+b+ 99\cdot c+c+9\cdot d+d+e[/tex]
e, também,
[tex] \qquad n=9\cdot (1111\cdot a+111\cdot b+11\cdot c+1\cdot d)+(a+b+c+d+e)[/tex].
Agora, se [tex]k=1111\cdot a+111\cdot b+11\cdot c+1\cdot d \, [/tex] e [tex] \, t=a+b+c+d+e[/tex] então
[tex] \qquad n=9\cdot k+t[/tex], com [tex]k, \, t\in\mathbb{N} \, \qquad (i)[/tex]

a)([tex]\Rightarrow[/tex]) Suponha que [tex]n[/tex] seja divisível por [tex]9[/tex].
Assim, [tex]n=9\cdot x[/tex], para algum número natural [tex]x[/tex] e, dessa forma, por [tex](i)[/tex], [tex]t=9\cdot x-9\cdot k=9\cdot (x-k)[/tex].
Note que [tex]n\ge 9\cdot k[/tex], logo [tex]z=x-k[/tex] é um número natural. Assim [tex]t=9\cdot z[/tex], com [tex]z\in\mathbb{N}[/tex] e, então, [tex]t[/tex] é divisível por [tex]9[/tex].
Mas [tex]t=a+b+c+d+e[/tex], ou seja, [tex]t[/tex] é a soma dos algarismos de [tex]n[/tex]; portanto essa soma é divisível por [tex]9[/tex].
Logo, se [tex]n[/tex] é divisível por [tex]9[/tex], então a soma dos algarismos de [tex]n[/tex] é divisível por [tex]9[/tex].
(“[tex]n[/tex] é divisível por [tex]9[/tex]” [tex]\Rightarrow[/tex] “a soma dos algarismos de [tex]n[/tex] é divisível por [tex]9[/tex]”)

b)([tex]\Leftarrow[/tex]) Suponha, agora, que soma dos algarismos de [tex]n[/tex] seja divisível por [tex]9[/tex].
Então, [tex] t=a+b+c+d+e[/tex] é divisível por 9 e, dessa forma, [tex]t=9\cdot x[/tex], para algum número natural [tex]x[/tex] . Portanto, por [tex](i)[/tex], [tex]n=9\cdot k+9\cdot x=9\cdot (k+x)[/tex].
Mas [tex]k+x[/tex] é um número natural, portanto [tex]n[/tex] é um múltiplo de [tex]9[/tex], ou seja, [tex]n[/tex] é divisível por [tex]9[/tex].
Pelo exposto, se a soma dos algarismos de [tex]n[/tex] for divisível por [tex]9[/tex], então [tex]n[/tex] é divisível por [tex]9[/tex].
(“a soma dos algarismos de [tex]n[/tex] divisível por [tex]9[/tex]” [tex]\Rightarrow[/tex] “[tex]n[/tex] divisível por [tex]9[/tex]” )
Portanto, por (a) e (b), segue o critério.

Justificativa 2: Para quem tem familiaridade com a linguagem matemática, a justificativa do critério decorre rapidamente da igualdade [tex](i)[/tex].
[tex] \qquad n=9\cdot k+t[/tex], com [tex]k,t\in\mathbb{N}[/tex].
Nesse caso, bastaria observar que [tex]n=9\cdot k+t[/tex] é divisível por [tex]9[/tex] se, e somente se, [tex]t[/tex] for divisível por [tex]9[/tex]. Como [tex]t[/tex] é a soma dos algarismos de [tex]n[/tex], então [tex]n[/tex] é divisível por [tex]9[/tex] se, e somente se, a soma de seus algarismos for divisível por [tex]9[/tex].

• 47238520416753909855566677770 é divisível por 10, pois termina em 0.
• 2587460123698520369750687268469793613678 não é divisível por 10, pois termina em 8.

Justificativa: Esta justificativa é idêntica a outras já feitas. Seja, então, [tex]n[/tex] um número natural da forma
[tex] \qquad n=a_r\cdot 10^r+a_{r-1}\cdot 10^{r-1}+\cdots+a_2\cdot 10^2+a_1\cdot 10^1+a_0[/tex].
Se [tex]k=a_r\cdot 10^{r-1}+a_{r-1}\cdot 10^{r-2}+\cdots+a_2\cdot 10+a_1[/tex], podemos reescrever [tex]n[/tex] como
[tex] \qquad n=10\cdot k+a_0[/tex], com [tex]k \in\mathbb{N}[/tex].
Assim, como [tex]10[/tex] é divisível por [tex]10[/tex], então [tex]n[/tex] será divisível por [tex]10[/tex] se, e somente se, [tex]a_0[/tex] for divisível por [tex]10[/tex].
Mas [tex]a_0[/tex] é um algarismo, portanto [tex]a_0[/tex] é divisível por [tex]10[/tex] se, e somente se, [tex]a_0=0[/tex]. Como [tex]a_0[/tex] é o algarismo das unidades de [tex]n[/tex], então [tex]n[/tex] será divisível por [tex]10[/tex] se, e somente se, [tex]n[/tex] terminar em [tex]0[/tex].