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Um pouco sobre divisibilidade: Contagem de divisores – problemas

Contagem de divisores

Problemas


Problema 1

Qual o número de divisores naturais de [tex]7![/tex]?

Observe que [tex]7!=5040 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1 [/tex], assim os divisores naturais de [tex]5040[/tex] são da forma [tex]d= 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \cdot 7^d [/tex]. Vamos para as escolhas dos expoentes da decomposição de [tex]d[/tex]:

  • expoente do [tex]2[/tex]: temos cinco possibilidades ([tex]0[/tex] ou [tex]1[/tex] ou [tex]2[/tex] ou [tex]3[/tex] ou [tex]4[/tex])
  • expoente do [tex]3[/tex]: temos três possibilidades ([tex]0[/tex] ou [tex]1[/tex] ou [tex]2[/tex])
  • expoente do [tex]5[/tex]: temos duas possibilidades ([tex]0[/tex] ou [tex]1[/tex])
  • expoente do [tex]7[/tex]: temos duas possibilidades ([tex]0[/tex] ou [tex]1[/tex])

Portanto, o número de divisores naturais de [tex]7![/tex] é dado pelo produto [tex]5 \times 3 \times 2 \times 2 = 60[/tex].

Problema 2

Qual o número de divisores naturais ímpares de [tex]210 [/tex] ?

Observe que [tex]210= 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1 [/tex], assim os divisores naturais de [tex]210[/tex] são da forma [tex]d= 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \cdot 7^d [/tex]. Vamos para as escolhas dos expoentes da decomposição de [tex]d[/tex]:

  • expoente do [tex]3[/tex]: temos duas possibilidades ([tex]0[/tex] ou [tex]1[/tex])
  • expoente do [tex]5[/tex]: temos duas possibilidades ([tex]0[/tex] ou [tex]1[/tex])
  • expoente do [tex]7[/tex]: temos duas possibilidades ([tex]0[/tex] ou [tex]1[/tex])
  • expoente do [tex]2[/tex]: temos apenas uma possibilidade, já que o divisor deve ser ímpar ([tex]0[/tex])

Portanto, o número de divisores naturais ímpares de [tex]210[/tex] é dado pelo produto [tex]2 \times 2 \times 2 \times 1 = 8[/tex].

Problema 3

(ITA-adaptado) Qual o número de divisores naturais de [tex]17640[/tex] que, por sua vez, são divisíveis por [tex]3[/tex]?

Observe que [tex]17640 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^2 [/tex], assim os divisores naturais de [tex]17640[/tex] são da forma [tex]d= 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \cdot 7^d [/tex]. Vamos para as escolhas dos expoentes da decomposição de [tex]d[/tex]:

  • expoente do [tex]2[/tex]: temos quatro possibilidades ([tex]0[/tex] ou [tex]1[/tex] ou [tex]2[/tex] ou [tex]3[/tex])
  • expoente do [tex]5[/tex]: temos duas possibilidades ([tex]0[/tex] ou [tex]1[/tex])
  • expoente do [tex]7[/tex]: temos três possibilidades ([tex]0[/tex] ou [tex]1[/tex] ou [tex]2[/tex])
  • expoente do [tex]3[/tex]: temos apenas duas possibilidades, já que o divisor deve ser divisível por [tex]3[/tex] ([tex]1[/tex] ou [tex]2[/tex] )

Portanto, o número de divisores naturais de [tex]17640[/tex] que são divisíveis por [tex]3[/tex] é dado pelo produto [tex]4 \times 2 \times 3 \times 2 = 48[/tex].

Problema 4

(FUVEST – adaptado) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores naturais de [tex]60[/tex], qual a probabilidade de que ele seja primo?

  • A decomposição em fatores primos de [tex]60[/tex] é [tex]60= 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1[/tex]; assim, o número de divisores é dado pelo produto [tex](2+1)\cdot (1+1)\cdot (1+1) = 12[/tex].
  • Por outro lado, os únicos divisores primos de [tex]60[/tex] são [tex]2[/tex], [tex]3[/tex] e [tex]5[/tex], ou seja, três divisores.

Portanto,a probabilidade solicitada será:
[tex]~~~~~~~~~~\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}=25\%[/tex].

Problema 5

Os números naturais [tex]p = 2^{31}– 1[/tex] e [tex]q = 2^{61}– 1[/tex] são primos. Então, quantos divisores naturais tem o número [tex]n=2^{93}-2^{32}-2^{62}+2[/tex]?

Note que [tex]n=2^{93}-2^{32}-2^{62}+2=2\cdot (2^{92}-2^{31}-2^{61}+1)=2\cdot (2^{31}– 1)\cdot (2^{61}– 1)[/tex], ou seja, [tex]n=2pq[/tex].
Como [tex]p[/tex], [tex]q[/tex] e [tex]2[/tex] são primos, o número de divisores de [tex]n[/tex] é dado pelo produto [tex](1+1)\cdot (1+1)\cdot (1+1) = 8[/tex].

Problema 6

(ENEM de 2014 – adaptado) Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número [tex]N[/tex] é dado pela decomposição [tex]2^x\cdot 5^y\cdot 7^z[/tex], na qual [tex]x, y[/tex] e [tex]z[/tex] são números naturais. Sabe-se que [tex]N[/tex] é múltiplo de [tex]10[/tex] e não é múltiplo de [tex]7[/tex].
Determinar o número de divisores naturais de [tex]N[/tex], diferentes de [tex]N[/tex].

O enunciado fornece a decomposição de [tex]N[/tex] em fatores primos, [tex]N=2^x\cdot 5^y\cdot 7^z[/tex], e duas informações irrelevantes para resolvermos o problema:

  • [tex]N[/tex] é múltiplo de [tex]10[/tex]: isso significa, simplesmente, que [tex]x\gt 0[/tex] e [tex]y\gt 0[/tex];
  • [tex]N[/tex] não é múltiplo de [tex]7[/tex]: isso significa que na fatoração de [tex]N[/tex] não há fatores [tex]7[/tex], isto é, [tex]z=0[/tex].
  • As possíveis escolhas para os expoentes da decomposição de [tex]N[/tex] são:

    • possibilidades para o expoente do fator [tex]2[/tex]: [tex]x + 1[/tex]
    • possibilidades para o expoente do fator [tex]5[/tex]: [tex]y + 1[/tex]
    • possibilidades para o expoente do fator [tex]7[/tex]: [tex]z + 1[/tex]

    Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número total de divisores naturais de [tex]N[/tex] é o produto de todas as possibilidades dos expoentes, ou seja, [tex](x + 1)\cdot (y+1)\cdot (z+1)[/tex].
    Entretanto, temos uma restrição imposta pelo enunciado: os divisores a serem contados são diferentes de [tex]N[/tex], portanto a resposta desta questão, para efeito do ENEM, é [tex](x + 1)\cdot (y+1)\cdot (z+1)-1[/tex].
    Mas poderíamos, ainda, levar em consideração que [tex]z=0[/tex] e, neste caso, poderíamos ter como resposta [tex](x + 1)\cdot (y+1)-1[/tex], ou ainda [tex]xy+x+y[/tex].

    Os próximos problemas são para vocês tentarem fazer.

    Problema 7: Qual é o menor número natural que possui exatamente [tex]20[/tex] divisores naturais?

    Problema 8: (OBM 2014 – F1N3 – adaptado) Qual é o menor inteiro positivo com [tex]2014 [/tex] divisores positivos?
    (Resposta: [tex] 2^{52} \cdot 3^{18} \cdot 5[/tex] )

    Problema 9: (FGV-SP) O número [tex]24 \cdot 3^a \cdot 53[/tex] tem [tex]120[/tex] divisores. Qual é o valor de [tex]a[/tex]?
    (Resposta: [tex]a=13[/tex])

    Problema 10: (OBM 2011 – F1N3) Quantos números menores do que [tex]30[/tex] têm exatamente quatro divisores naturais?
    (Resposta: [tex]9[/tex])

    Problema 11: Qual o número de divisores positivos do número [tex]N = 91^5 + 5\cdot 91^4 + 10\cdot 91^ 3 + 10\cdot 91^2 + 5\cdot 91 + 1[/tex]?
    (Resposta: [tex]66[/tex])

    Problema 12: (XXVII Olimpíada de Matemática da Unicamp)
    (a) Determine quantos divisores tem o número natural [tex]m = 1260[/tex].
    (b) Determine o menor número natural que tem exatamente [tex]14[/tex] divisores.

    Problema 13: Seja [tex]n[/tex] um número natural que não é divisível por nenhum quadrado perfeito. Se [tex]r[/tex] é o número de fatores primos de [tex]n[/tex], mostre que [tex]\tau(n)=2^r[/tex].

    Problema 14: Se [tex]n[/tex] é um número natural não nulo, costuma-se indicar por [tex]\sigma(n)[/tex] a soma de todos os divisores naturais de [tex]n[/tex].
    Por exemplo, [tex]\sigma(4)=1+2+4=7[/tex]; [tex]\sigma(10)=1+2+5+10=18[/tex]; [tex]\sigma(12)=1+2+3+4+6+12=28[/tex].
    a) Sendo [tex]p[/tex] um natural primo, determine [tex]\sigma(p)[/tex].
    b) Sendo [tex]p[/tex] um natural primo e [tex]m[/tex] um número natural qualquer, determine [tex]\sigma(p^m)[/tex].



    Equipe COM – OBMEP

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