. Sala de ajuda: Linguagem matemática – Implicações e equivalências

Implicações

Se $P$ e $Q$ são propriedades que se referem a elementos de um dado conjunto não vazio $U$, então as cinco expressões:

• se $P$, então $Q$
• $P$ implica $Q$
• $P$ acarreta $Q$
• $P$ é condição suficiente para $Q$
• $Q$ é condição necessária para $P$

têm todas o mesmo significado. Elas querem dizer, simplesmente, que:

• todo elemento do conjunto $U$ que tem a propriedade $P$ também tem a propriedade $Q$.

Para exprimir esse fato, é comum utilizarmos a seguinte notação:$\, \, P \Rightarrow Q$. Dessa forma, se considerarmos os conjuntos:
$\qquad \qquad A=\{ \, a \in U$, tal que $a$ tem a propriedade $P \, \}$

$\qquad \qquad B=\{ \, b \in U$, tal que $b$ tem a propriedade $Q \, \}$
então escrevemos $\, \, P \Rightarrow Q \, \,$ para significar que $\, \, A \subset B$.

Nessas condições, é comum, também, utilizarmos a notação $\, \, P \nRightarrow Q$ para indicar a negação de $\, \, P \Rightarrow Q$. Logo, a notação $\, \, P \nRightarrow Q$ indica que

• nem todo elemento do conjunto $U$ que tem a propriedade $P$ também tem a propriedade $Q$

ou, de outra forma, indica que

• é possível encontrar, pelo menos, um elemento do conjunto $U$ que tenha a propriedade $P$ e que não tenha a propriedade $Q$.

Resumindo:

Equivalências

Se, novamente, $P$ e $Q$ forem propriedades que se referem a elementos de um dado conjunto não vazio $U$, também as expressões:

• $P$ é condição necessária e suficiente para $Q$
• $P$ se, e somente se, $Q$
• $P$ e $Q$ são equivalentes

têm todas o mesmo significado. Elas querem dizer que "$P \Rightarrow Q$" e "$Q \Rightarrow P$", ou seja, que, simultaneamente,

• “todo elemento do conjunto $U$ que tem a propriedade $P$ também tem a propriedade $Q$” e “todo elemento do conjunto $U$ que tem a propriedade $Q$ também tem a propriedade $P$”,

fato que denotamos como:$\, \, P \Leftrightarrow Q$. Portanto, se considerarmos, uma vez mais, os conjuntos
$\qquad A=\{ \, a \in U$, tal que $a$ tem a propriedade $P \, \}$

$\qquad B=\{ \, b \in U$, tal que $b$ tem a propriedade $Q \, \}$
então escrever $\, \, P \Leftrightarrow Q \, \,$ significa que $\, \, A = B \, \,$.

Também é comum utilizarmos uma notação para indicar a negação de $\, \, P \Leftrightarrow Q$. Assim, a notação $\, \, P \nLeftrightarrow Q$ indica que $P$ e $Q$ não são equivalentes, ou seja, que, pelo menos, uma das seguintes situações ocorre: $\, \, P \nRightarrow Q$; $\, \, Q \nRightarrow P$.

Resumindo:

Algumas observações

$\textcolor{#4178a1}{(i)}$ Observe atentamente a utilização dos símbolos $\boxed{\subset \, \, \, \not \subset \, \, \, = \, \, \, \Leftrightarrow \, \, \, \nLeftrightarrow \, \, \, \Rightarrow \, \, \, \nRightarrow} \,$:

• Utilizamos $\boxed{\subset \, \, \, \not \subset \, \, \, =} \,$ entre conjuntos.
• Utilizamos $\boxed{\Leftrightarrow \, \, \, \nLeftrightarrow \, \, \, \Rightarrow \, \, \, \nRightarrow} \,$ entre propriedades.

$\textcolor{#4178a1}{(ii)}$ O símbolo $\Rightarrow$ não significa “então”.
Assim, não escreva coisas do tipo

• Se $x$ e $y$ são inteiros ímpares $\Rightarrow x+y$ é um número ímpar.
• Se $6 | a$ $\Rightarrow 3 | a \,$.

O correto seria:

• "$x$ e $y$ são inteiros ímpares" $\Rightarrow$ "$x+y$ é um número ímpar".
• $\, 6 | a \Rightarrow 3 | a \,$.

$\textcolor{#4178a1}{(iii)}$ Quando as frases que descrevem duas propriedades $P \,$ e $\, Q$ forem muito longas, não coloque a implicação $\, \, P \Rightarrow Q$ (ou a equivalência $\, \, P \Leftrightarrow Q$) no meio de outra frase; isole-a em uma outra linha. Por exemplo:

• Suponha que $x \,$ e $\, y$ sejam números inteiros. Assim, temos a seguinte propriedade:
  $\qquad$"$x$ e $y$ ímpares" $\Rightarrow$ "$x+y$ ímpar".

Exemplos

Vamos construir frases matemáticas verdadeiras, utilizando os símbolos $\boxed{\Leftrightarrow \, \, \, \nLeftrightarrow \, \, \, \Rightarrow \, \, \, \nRightarrow} \,$.
Tente justificar a veracidade de cada uma.

$\textcolor{#4178a1}{(i)}$ Considere
➤ $U$: conjunto dos triângulos de um plano;
➤ $P$: $T$ é equilátero;
➤ $Q$: $T$ é isósceles.
Então:

• $P \Rightarrow Q$.
  ou
  "$T$ é equilátero" $\Rightarrow$ "$T$ é isósceles".

• $Q \nRightarrow P$.
  ou
  "$T$ é isósceles" $\nRightarrow$ "$T$ é equilátero".

• $P \nLeftrightarrow Q$.
  ou
  "$T$ é equilátero" $\nLeftrightarrow$ "$T$ é isósceles".

$\textcolor{#4178a1}{(ii)}$ Considere
➤ $U$: conjunto dos números naturais;
➤ $P$: $a$ é par;
➤ $Q$: $a$ é múltiplo de $5$.
Então:

• $P \nRightarrow Q$.
  ou
  "$a$ é par" $\nRightarrow$ "$a$ é múltiplo de $5$".

• $Q \nRightarrow P$.
  ou
  "$a$ é múltiplo de $5$" $\nRightarrow$ "$a$ é par".

• $P \nLeftrightarrow Q$.
  ou
  "$a$ é par" $\nLeftrightarrow$ "$a$ é múltiplo de $5$".

$\textcolor{#4178a1}{(iii)}$ (Ampliando a utilização) Considere:
➤ $U$: conjunto dos números naturais.
Então:

• "$x$ é par e $y$ é par" $\Rightarrow$ "$x+y$ é par".
• "$x+y$ é par" $\nRightarrow$ "$x$ é par e $y$ é par".
• "$x$ é ímpar e $y$ é ímpar" $\Rightarrow$ "$x+y$ é par".
• "$x+y$ é par" $\nRightarrow$ "$x$ é ímpar e $y$ é ímpar".