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Antes de iniciar a leitura dessa Sala de Estudos, sugerimos fortemente que você dê uma passadinha na Sala de Matrizes, neste link.
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Na Matemática ocidental antiga não se tem muitos registros de sistemas de equações lineares, diferente do Oriente, onde o assunto já era mais discutido entre os chineses, que representavam os sistemas lineares por meio de seus coeficientes escritos com barras de bambu sobre os quadrados de um tabuleiro. Acredita-se que, com essa forma de representação, eles acabaram descobrindo o método de resolução de sistemas por eliminação – anulação dos coeficientes por meio de operações básicas. Exemplos de como era realizado esse procedimento encontram-se em Os Nove Capítulos da Arte Matemática, um texto que data aproximadamente de 200 a.C. a 100 a.C.
Uma página de Os nove capítulos da arte matemática. Imagem extraída de Wikipédia.
Na Europa, os determinantes de matrizes de ordem 2 foram estudados pelo matemático italiano Girolamo Cardano (1501 – 1576), no final do século XVI.
No Japão, a noção de determinante apareceu em 1683, através do estudo de sistemas lineares, num trabalho do matemático Seki Takakazu (1642 – 1708), também conhecido como Seki Kōwa. Dez anos depois, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) introduziu o uso de determinantes no Ocidente.
No século XVIII, outros matemáticos, como Cramer, Bézout, Laplace e Vandermonde também publicaram artigos sobre determinantes e deixaram contribuições importantes, algumas das quais veremos mais adiante.
O termo determinante, com o sentido atual, surgiu em 1812 num trabalho de Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857), onde ele reprovou os resultados anteriores e apresentou novos resultados, simplificou o que era conhecido até então sobre determinantes e apresentou uma segunda demonstração do teorema da multiplicação de determinantes.
Em 1841, Arthur Cayley (1821 – 1895) publicou a primeira contribuição inglesa para a teoria dos determinantes. Em seu artigo, ele usou duas linhas verticais em cada lado da matriz para denotar o determinante, uma notação que agora se tornou padrão, bem como explorou propriedades e aplicações dos determinantes.
O estudo de determinantes é importante em várias áreas da Matemática e de suas aplicações práticas. Abaixo vemos alguns campos onde são aplicados determinantes.
➤ Geometria Analítica: Determinantes são usados na geometria analítica para calcular áreas de paralelogramos e volumes de paralelepípedos, bem como para verificar a coplanaridade de pontos no espaço.
➤ Teoria dos Números: Determinantes estão presentes em algumas formulações e teoremas na teoria dos números, especialmente em problemas relacionados a equações diofantinas e teoria dos grupos.
➤ Computação Gráfica: Em computação gráfica, determinantes são usados para transformações geométricas, como rotações.
➤ Estatística e Probabilidade: Determinantes podem aparecer em contextos estatísticos, por exemplo, ao calcular a matriz de covariância em análise estatística multivariada.
➤ Economia e Ciências Sociais: Modelos econômicos e sistemas de equações nas ciências sociais podem ser analisados usando determinantes.
Em suma, o estudo dos determinantes é indispensável para muitas áreas da Matemática e das ciências, fornecendo ferramentas poderosas para resolver problemas e modelar situações em diversos campos.
Introdução
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Até aqui, muito se falou sobre o desenvolvimento da teoria dos determinantes. Mas, afinal, o que é determinante?
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Determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar, ou seja, é uma função que transforma uma matriz quadrada em um número real. O determinante de uma matriz [tex]M[/tex] é denotado por [tex]\det M[/tex] ou simplesmente [tex]|M|[/tex].
Em termos matemáticos, sendo [tex]\mathcal{M}[/tex] o conjunto de todas as matrizes quadradas, temos
[tex]\qquad \begin{align*} \det: \mathcal{M} &\rightarrow \mathbb{R} \\ M &\mapsto \det M \end{align*}[/tex]
Assim, as matrizes abaixo, por serem quadradas, possuem determinantes:
- [tex]A =\begin{bmatrix} 5 \end{bmatrix}[/tex];
- [tex]B=\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ -2 & 4\end{bmatrix}[/tex];
- [tex]C=\begin{bmatrix} 1 & 4 & 0 \\ -2 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 1\end{bmatrix}[/tex];
- [tex]D=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1\\ -1& 2 & -2 & 0\\ 2 & 1 & 1 & 1\\ -2 & 1 & 0 & -1\end{bmatrix}[/tex].
Podemos representar o determinante da matriz [tex]C[/tex] por [tex]\det C[/tex], [tex]|C|[/tex] ou ainda [tex]\begin{vmatrix} 1 & 4 & 0 \\ -2 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 1\end{vmatrix}[/tex].
Como calcular o determinante?
O método utilizado para encontrar o determinante de uma matriz nem sempre é o mesmo. Assim, apresentaremos algumas definições formais de determinante de matrizes de ordens [tex]n = 1[/tex], [tex]n=2[/tex] e [tex]n=3[/tex].
Determinante de uma matriz de ordem [tex]n=1[/tex]
Se [tex]M[/tex] é uma matriz de ordem [tex]n =1[/tex], então [tex]\det M[/tex] é o único elemento de [tex]M[/tex]. Ou seja, se [tex]M =\begin{bmatrix} a_{11}\end{bmatrix}[/tex], então [tex]\det M = a_{11}[/tex].
Exemplos:
1) Se [tex]M =\begin{bmatrix} 5\end{bmatrix}[/tex], então [tex]\det M = 5[/tex];
2) Se [tex]N =\begin{bmatrix} -2\end{bmatrix}[/tex], então [tex]\det N = -2[/tex].
Determinante de uma matriz de ordem [tex]n=2[/tex]
Sendo [tex]M=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix}[/tex] uma matriz de ordem [tex]n =2[/tex], o [tex]\det M[/tex] é o produto de [tex]a_{11}[/tex] e [tex]a_{22}[/tex] menos o produto de [tex]a_{12}[/tex] e [tex]a_{21}[/tex]. Ou seja, [tex]\det M = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}[/tex].
Exemplos:
1) Se [tex]M=\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 3\end{bmatrix}[/tex], então [tex]\det M = 1\cdot 3-(-2)\cdot 4=11[/tex];
2) Se [tex]N=\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 7\end{bmatrix}[/tex], então [tex]\det N = -1\cdot 7-0\cdot 2=-7[/tex].
Determinante de uma matriz de ordem [tex]n=3[/tex]
Se [tex]M[/tex] é uma matriz de ordem [tex]n =3[/tex], digamos [tex]M=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}[/tex], definimos o determinante de [tex]M[/tex] por [tex]\qquad \det M = a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32} -a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31} – a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32} -a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}.[/tex]
Exemplos:
1) Se [tex]M=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -1\\ -2 & -1 & 2\end{bmatrix}[/tex], então
[tex]\qquad \begin{align}\det M &= 1\cdot 1\cdot 2+(-2)\cdot (-1)\cdot (-2)+3\cdot 2\cdot (-1) -3\cdot 1\cdot (-2) – 1\cdot (-1)\cdot (-1) -(-2)\cdot 2\cdot 2\\
\det M &= 2-4-6+6-1+8\\
\det M &= 5;\end{align}[/tex]
2) Se [tex]N=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 1\\ 0 & -2 & 1\end{bmatrix}[/tex], então
[tex]\qquad \begin{align}\det N &= 1\cdot (-1)\cdot 1+ 2\cdot 1\cdot 0+3\cdot 0\cdot (-2) -3\cdot (-1)\cdot 0 – 1\cdot 1\cdot (-2) -2\cdot 0\cdot 1\\
\det N &= -1+0+0+0+2+0\\
\det N &= 1.\end{align}[/tex]
Você deve ter achado um tanto complicada a definição de determinante para o caso de matrizes de ordem [tex]n=3[/tex], não é mesmo? Por consequência, vamos apresentar uma maneira de memorizar com mais facilidade a expressão do determinante [tex]\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}[/tex]:
- Repita, do lado direito da matriz [tex]M[/tex], suas duas primeiras colunas, conforme esquema abaixo.
[tex]\qquad \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}
\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32} \\
\end{array}[/tex] - Os termos precedidos pelo sinal [tex]+[/tex], na definição apresentada, são obtidos multiplicando-se os elementos situados segundo as setas que estão na mesma direção da diagonal principal. Observe:
- Os termos precedidos pelo sinal [tex]-[/tex], na definição apresentada, são obtidos multiplicando-se os elementos situados segundo as setas que estão na mesma direção da diagonal secundária. Veja:
Dessa forma,
[tex]\qquad \begin{align}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} = \;\;&\textcolor{blue}{a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}} \\
&\textcolor{red}{-a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31} – a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32} -a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}.}\end{align}[/tex]
Exemplo: Encontre o determinante da matriz [tex]A=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 3& 1& 1\\ -2& 1& 3\end{bmatrix}[/tex].
Solução: Usando o esquema visto acima, temos
Logo, [tex]\det A = -3+0+6+4+1+0 = 8[/tex].
Esse esquema de memorização para calcular o determinante de uma matriz de ordem 3 é chamado de Regra de Sarrus, que recebe este nome em homenagem ao matemático francês Pierre Frédéric Sarrus (1798 – 1861). Sarrus foi reconhecido por seus trabalhos em várias áreas da Matemática, incluindo a teoria dos determinantes, na qual a regra que leva seu nome se destaca como uma ferramenta de cálculo valiosa e amplamente utilizada.
Até aqui, já sabemos calcular determinantes de matrizes de ordens 1, 2 e 3, mas e se quiséssemos calcular o determinante de uma matriz de ordem superior, como deveríamos proceder? Bom, a seguir vamos apresentar uma definição formal de determinante, válida para matrizes de ordem [tex]n[/tex] qualquer.
Para tanto, vamos precisar de algumas definições:
Definição: Seja [tex]M[/tex] uma matriz quadrada de ordem [tex]n\geq 2[/tex]. Definimos menor complementar do elemento [tex]a_{ij}[/tex] (representamos por [tex]D_{ij}[/tex]) como sendo o determinante da matriz de ordem [tex]n-1[/tex] que se obtém eliminando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna da matriz [tex]M[/tex].
Esquematicamente, se [tex]M=(a_{ij})_{n\times n}[/tex], eliminamos a linha [tex]i[/tex] e a coluna [tex]j[/tex], conforme figura abaixo:
E então
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Achou a representação um pouco confusa? 😕 |
Se, por exemplo, [tex]M=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}[/tex], então o menor complementar do elemento [tex]a_{12}[/tex] é o determinante da matriz que se obtém eliminando-se a primeira linha e a segunda coluna da matriz [tex]M[/tex], conforme esquema abaixo.
Ou seja, [tex]D_{12} = \begin{vmatrix} a_{21} &a_{23}\\a_{31}& a_{33} \end{vmatrix}.[/tex]
Exemplo: Dada a matriz [tex]M = \begin{bmatrix} 4 &-6& -2\\-1& 3 &-4\\4 &3& 1 \end{bmatrix}[/tex]:
- o menor complementar do elemento [tex]a_{11}[/tex] é [tex]D_{11} = \begin{vmatrix} 3 &-4\\3& 1 \end{vmatrix} = 3+12 = 15[/tex];
- o menor complementar do elemento [tex]a_{23}[/tex] é [tex]D_{23} = \begin{vmatrix} 4 &-6\\4& 3 \end{vmatrix} = 12+24 = 36[/tex].
Definição: Seja [tex]M[/tex] uma matriz quadrada de ordem [tex]n\geq 2[/tex]. Definimos complemento algébrico do elemento [tex]a_{ij}[/tex] (ou simplesmente cofator de [tex]a_{ij}[/tex]), e indicamos por [tex]C_{ij}[/tex], o número [tex](-1)^{i+j}\cdot D_{ij}[/tex].
No que diz respeito ao último exemplo apresentado acima, temos que:
- o cofator de [tex]a_{11}[/tex] é dado por [tex]C_{11} = (-1)^{1+1}\cdot D_{11} = 15[/tex];
- o cofator de [tex]a_{23}[/tex] é dado por [tex]C_{23} = (-1)^{2+3}\cdot D_{23} = (-1)\cdot 36 = -36[/tex].
Caso geral
Definição
Seja [tex]M = (a_{ij})_{n\times n}[/tex] uma matriz de ordem [tex]n[/tex]. Definimos o determinante da matriz [tex]M[/tex] (indicamos por [tex]\det M[/tex]) da seguinte forma:
1) se [tex]n=1[/tex], ou seja, se [tex]M=\begin{bmatrix} a_{11} \end{bmatrix}[/tex], então [tex]\det M =\begin{vmatrix} a_{11}\end{vmatrix} = a_{11}[/tex];
2) se [tex]n\geq 2[/tex], ou seja, se [tex]M = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{bmatrix}[/tex], então [tex]\det M[/tex] é a soma dos produtos dos elementos da 1ª coluna pelos respectivos cofatores.
Ou seja,
Exemplo: Encontre o determinante da matriz [tex]M=\begin{bmatrix}
3 & -5 & 2 & 7 \\
-1 & 6 & -4 & 9 \\
8 & -2 & 0 & 4 \\
-3 & 1 & -6 & 5
\end{bmatrix}[/tex].
Solução: Pela definição apresentada acima, temos
[tex]\qquad \det M = 3\cdot C_{11}-1\cdot C_{21}+8\cdot C_{31}-3\cdot C_{41}[/tex].
Nos resta calcular o cofator de cada um dos elementos da primeira coluna:
- [tex]C_{11} = (-1)^{1+1}\cdot D_{11} = D_{11} = \begin{vmatrix}
6 & -4 & 9 \\
-2 & 0 & 4 \\
1 & -6 & 5
\end{vmatrix} = 0-16+108+144 -40-0= 196;[/tex] - [tex]C_{21} = (-1)^{2+1}\cdot D_{21} = -D_{21} = -\begin{vmatrix}
-5& 2 & 7 \\
-2 & 0 & 4 \\
1 & -6 & 5
\end{vmatrix} = -(0+8+84-120+20-0)= 8;[/tex] - [tex]C_{31} = (-1)^{3+1}\cdot D_{31} = D_{31} = \begin{vmatrix}
-5 & 2 & 7 \\
6 & -4 & 9 \\
1 & -6 & 5
\end{vmatrix} = 100+18-252+28-60-270= -436;[/tex] - [tex]C_{41} = (-1)^{4+1}\cdot D_{41} = -D_{41} = -\begin{vmatrix}
-5 & 2 & 7 \\
6 & -4 & 9 \\
-2 & 0 & 4
\end{vmatrix} = -(80-36+0-56-48+0)= 60.[/tex]
Portanto,
[tex]\qquad \det M = 3\cdot 196-1\cdot 8+8\cdot (-436)-3\cdot 60[/tex]
[tex]\qquad \det M =−3088[/tex].
Agora, propomos abaixo um exercício para calcular o determinante de uma matriz de ordem [tex]n=5[/tex].
Exercício: Determine o determinante da matriz [tex]M = \begin{bmatrix}
12 & 9 & -13 & -2 & 6 \\
18 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
-5 & 8 & 11 & -2 & 14 \\
-1 & 2 & -3 & 1 & 7 \\
9 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}[/tex].
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Você pode ter se sentido desanimado ao deparar-se com o exercício proposto, não é mesmo? |
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Vou demorar um século para resolver o exercício! |
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Calma! Nem tudo é o que parece ser. Vamos apresentar um resultado muito importante que pode ajudá-lo bastante. |
Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz [tex]M[/tex], de ordem [tex]n\geq 2[/tex], é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.
Assim, se [tex]M = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1j}& \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2j}& \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \ddots & \vdots\\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{ij}& \cdots & a_{in}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nj}& \cdots & a_{nn}
\end{bmatrix}[/tex], então para qualquer [tex]1\leq i\leq n[/tex],
e, para qualquer [tex]1\leq j\leq n[/tex],
Por enquanto, vamos nos abster de demonstrar a validade desse resultado, já que sua compreensão requer um conhecimento mais aprofundado que foge ao escopo deste estudo.
Exemplo: Calcule o determinante da matriz [tex]M=\begin{bmatrix}
2 & 4 & 1 & 3 \\
-1 & 0 & 2 & 5 \\
3 & 1 & -2 & 0 \\
0 & 2 & 1 & -3 \\
\end{bmatrix}[/tex].
Solução: Escolhendo a terceira linha da matriz e aplicando o teorema de Laplace, temos
[tex]\begin{align}\det M &= 3\cdot(-1)^{3+1}\cdot\begin{vmatrix}
4 & 1 & 3 \\
0 & 2 & 5 \\
2 & 1 & -3 \\
\end{vmatrix} +1\cdot(-1)^{3+2}\cdot \begin{vmatrix}
2 & 1 & 3 \\
-1 & 2 & 5 \\
0 & 1 & -3 \\
\end{vmatrix}-2\cdot(-1)^{3+3}\cdot \begin{vmatrix}
2 & 4 & 3 \\
-1 & 0 & 5 \\
0 & 2 & -3 \\
\end{vmatrix}+0\cdot(-1)^{3+4}\cdot \begin{vmatrix}
2 & 4 & 1 \\
-1 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 1 \\
\end{vmatrix}\\
&= 3\cdot\begin{vmatrix}
4 & 1 & 3 \\
0 & 2 & 5 \\
2 & 1 & -3 \\
\end{vmatrix} -1\cdot \begin{vmatrix}
2 & 1 & 3 \\
-1 & 2 & 5 \\
0 & 1 & -3 \\
\end{vmatrix}-2\cdot \begin{vmatrix}
2 & 4 & 3 \\
-1 & 0 & 5 \\
0 & 2 & -3 \\
\end{vmatrix}-0\cdot \begin{vmatrix}
2 & 4 & 1 \\
-1 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 1 \\
\end{vmatrix}\\
&= 3\cdot(-46) -1\cdot (-28)-2(-38)-0\cdot(-6)\\
&=-34.\end{align}[/tex]
Bom, agora iremos resolver o exercício proposto anteriormente.
Exercício: Determine o determinante da matriz [tex]M = \begin{bmatrix}
12 & 9 & -13 & -2 & 6 \\
18 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
-5 & 8 & 11 & -2 & 14 \\
-1 & 2 & -3 & 1 & 7 \\
9 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}[/tex].
Solução: Obviamente procuramos uma maneira mais simples de resolver o problema. Dessa forma, a fim de simplificarmos os cálculos, é ideal que escolhamos a linha ou a coluna que tenha a maior quantidade possível de elementos iguais a [tex]0[/tex] para aplicarmos o teorema de Laplace. Neste caso, como a matriz é dada por
[tex]\qquad M = \begin{bmatrix}
12 & 9 & -13 & -2 & 6 \\
18 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
-5 & 8 & 11 & -2 & 14 \\
-1 & 2 & -3 & 1 & 7 \\
9 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}[/tex],
escolhemos aplicar o teorema de Laplace na 2ª linha, pois esta tem quatro elementos iguais a [tex]0[/tex]. Assim,
[tex]\qquad \det M = 18\cdot C_{21}+0\cdot C_{22}+0\cdot C_{23}+0\cdot C_{24}+0\cdot C_{25}[/tex]
[tex]\qquad \det M = 18\cdot C_{21}[/tex]
[tex]\qquad \det M = 18\cdot (-1)^{2+1}\cdot D_{21}[/tex]
[tex]\qquad \det M = -18\cdot D_{21}[/tex].
Repare que
[tex]\qquad D_{21} = \begin{vmatrix}
9 & -13 & -2 & 6 \\
8 & 11 & -2 & 14 \\
2 & -3 & 1 & 7 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
\end{vmatrix}.[/tex]
Novamente, podemos aplicar o teorema de Laplace, desta vez, na 4ª linha, pois dentre todas as linhas e colunas esta é a que possui a maior quantidade de elementos iguais a [tex]0[/tex]. Portanto,
[tex]\qquad D_{21} = 0\cdot C_{41}+1\cdot C_{42}+0\cdot C_{43}+0\cdot C_{44}[/tex]
[tex]\qquad D_{21} = 1\cdot C_{42}[/tex]
[tex]\qquad D_{21} = 1\cdot (-1)^{4+2}D_{42}[/tex]
[tex]\qquad D_{21} = D_{42}[/tex].
Observe que [tex]D_{42}[/tex] acima corresponde ao menor complementar do elemento [tex]a_{42}[/tex] da matriz [tex]D_{21}[/tex]. Ou seja,
[tex]\qquad D_{21} = D_{42} = \begin{vmatrix}
9 & -2 & 6 \\
8 & -2 & 14 \\
2 & 1 & 7 \\
\end{vmatrix} = -124[/tex].
Logo,
[tex]\qquad \det M = -18\cdot D_{21}[/tex]
[tex]\qquad \det M = -18\cdot (-124) [/tex]
[tex]\qquad \boxed{\det M =2232}[/tex].
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Nem foi tão complicado, não é mesmo? |
Até aqui, já temos conhecimento suficiente para calcularmos o determinante de uma matriz de ordem [tex]n[/tex] qualquer, podendo, inclusive, às vezes, termos sucesso mais rápido quando utilizamos o teorema de Laplace, uma vez que este pode ser uma mão na roda quando se tem, na matriz em questão, elementos iguais a zero, como vimos anteriormente. No entanto, no estudo de determinantes podemos destacar mais algumas ferramentas que podem ser usadas para facilitar o cálculo de determinantes de matrizes. A próxima seção trata de tais ferramentas e, em algumas delas, omitiremos a demonstração da validade, já que sua compreensão requer conhecimento aprofundado de um tema que ainda não vimos.
Como já sabemos o que é o determinante de uma matriz e já aprendemos a calculá-lo, vamos aprofundar um pouco a nossa discussão.
Para isso, vamos apresentar três novas Salas: duas com assuntos específicos e uma terceira com problemas.
➤ Sala 2: Regra de Chió.
➤ Sala 3: Problemas.
Recomendamos fortemente que vocês continuem a leitura seguindo a ordem na qual essas Salas estão anunciadas.
Vamos lá?
| Sala 1 | Sala 2 | Sala 3 |
Equipe COM – OBMEP
Fevereiro de 2025
[1] Asymptotic Behaviour of Random Vandermonde Matrices with Entries on the Unit Circle (Último acesso em 29/06/24)
[2] MacTutor – Matrices and determinants(Último acesso em 29/06/24)
[3] Wikipédia – Determinante(Último acesso em 29/06/24)
[4] IEZZI, Gelson. HAZZAN, Samuel. Fundamentos de matemática elementar, 4: Sequências, Matrizes, Determinantes e Sistemas. 10. ed. São Paulo: Atual, 2013.