Tópicos
II – Um pouco de História
III – A matemática que vamos precisar
IV – Medindo o que não podemos alcançar…
I – Apresentação do Tema
Ao falarmos sobre triângulos retângulos, a primeira propriedade que vem à cabeça de muitos de vocês, certamente, é o Teorema de Pitágoras. Mas, apesar de sua beleza e aplicabilidade, o Teorema de Pitágoras não é a única propriedade importante dos triângulos retângulos.
Nesta Sala de Atividades, vamos explorar os triângulos retângulos utilizando ferramentas da Geometria como, por exemplo, semelhança, para obtermos três razões importantes e largamente utilizadas em medições indiretas. E, diferentemente do Teorema de Pitágoras, que utiliza apenas as medidas dos lados dos triângulos retângulos, aqui utilizaremos também as medidas dos dois ângulos agudos desses triângulos, já que o nosso objetivo será trabalhar com relações entre as medidas dos lados e dos ângulos internos de um triângulo retângulo.
O ramo da matemática que se ocupa das relações entre ângulos e lados de um triângulo é a Trigonometria.
A Trigonometria atua direta ou indiretamente em vários ramos da Matemática que requerem medidas de precisão e tem numerosas aplicações na Astronomia, na Topografia, no estudo de imagens digitais, em sistemas de navegação por satélites, e, de maneira geral, na determinação de ângulos e de distâncias inacessíveis.
Nesta Sala, apresentaremos algumas das aplicações geométricas da trigonometria, com o objetivo de
estudar medições em triângulos retângulos.
E se vocês estão habituados a ver a palavra trigonometria em tópicos do ensino médio, não se preocupem: para entender o que vai ser tratado aqui, vocês só precisam saber um pouco sobre triângulos! Assim, se necessário, vocês poderão reencontrar os triângulos retângulos clicando aqui e os triângulos semelhantes, clicando aqui.
II – Um pouco de História
Há mais de 3000 anos, os egípcios e os babilônicos assistiram ao início do desenvolvimento da trigonometria, que surgiu, principalmente, devido a problemas da Astronomia, Agrimensura, Construção e Navegação. Medidas na agrimensura, medidas para a construção de pirâmides, previsão de rotas e posições de corpos celestes, melhoria na exatidão de rotas de navegação e no cálculo do tempo foram situações específicas nas quais são encontrados os primeiros indícios de rudimentos da trigonometria.
O papiro Rhind e tábua cuneiforme Plimpton são exemplos de documentos matemáticos que chegaram aos nossos dias e que contêm elementos de trigonometria.
 Uma parte do papiro Rhind – Museu Britânico, Londres. |
 Plimpton 322 – Columbia University. |
Ainda como parte da Astronomia, o estudo da trigonometria se difundiu pela Grécia, Índia e Arábia. Os gregos antigos fizeram um estudo sistemático das relações entre ângulos – ou arcos – numa circunferência e os comprimentos de suas cordas.
Hiparco de Nicéia (180 – 125 a.C)
Particularmente o astrônomo, construtor, cartógrafo e matemático grego Hiparco de Nicéia, que viveu entre os anos 180 e 125 a.C. e que ganhou o direito de ser chamado de o “Pai da Trigonometria”, construiu uma tabela com comprimentos de cordas que é considerada a primeira tabela da trigonometria. Com a ajuda dessa tabela ele podia relacionar facilmente os lados e os ângulos de qualquer triângulo do plano. Mais do que isso, fortemente influenciado pela matemática babilônica, Hiparco acreditava que a melhor base numérica para contagem era a 60. Dessa forma, introduziu na Grécia a divisão da circunferência em [tex]360[/tex] partes iguais, atribuiu o nome “arco de 1 grau” a cada parte em que a circunferência ficou dividida e dividiu cada arco de 1 grau em 60 partes obtendo, assim, o “arco de 1 minuto”. Infelizmente, os doze livros que continham a trigonometria de Hiparco, assim como o restante da sua obra, se perderam com o tempo…
Cláudio Ptolomeu (90 – 168)
No entanto, o conhecimento produzido por Hiparco foi preservado e ampliado brilhantemente por Cláudio Ptolomeu (90 – 168): astrônomo, geógrafo, físico e matemático da Universidade de Alexandria que também estudou os astros com a ajuda da trigonometria. É dele o mais influente e significativo compêndio de Astronomia da Antiguidade: Syntaxis mathematica. Escrita em 13 volumes, essa obra ficou conhecida como Almagesto, que significa “o maior”, em árabe, já que os tradutores árabes a consideravam a maior obra sobre Astronomia existente na época. O Almagesto foi a mais importante fonte de consulta para os astrônomos até o século VIII, época na qual o mundo começa a conhecer a matemática hindu.
Com a matemática hindu apareceram razões trigonométricas, como as que trabalharemos nesta Sala. Mais do que isso, a Índia revolucionou a trigonometria com um conjunto de textos denominados Siddhanta, que significa sistemas de Astronomia. Apesar das poucas explicações e de nenhuma prova, o Siddhanta segue um caminho diferente do caminho do Almagesto de Ptolomeu e substitui a relação entre “as cordas de um círculo e os ângulos centrais correspondentes” pela relação entre “a metade das cordas de um círculo e a metade dos ângulos centrais correspondentes”, relação essa chamada por eles de jiva. Surge aí a “Trigonometria do Triângulo Retângulo”.
O conflito entre a trigonometria do Almagesto e a trigonometria hindu termina quando o matemático árabe al-Battani (850 – 929) adota a trigonometria hindu, introduzindo uma inovação preciosa para a matemática: o círculo de raio unitário.
Da Arábia, a trigonometria alcançou a Europa, onde se separa da Astronomia para se tornar um ramo independente da Matemática. Nesse novo caminho, a trigonometria ganha um tratamento analítico com o matemático francês François Viète (1540-1603). No início do século XVII, o matemático escocês John Napier (1550-1617) fez, também, contribuições para a trigonometria.
No século XVIII, como não poderia deixar de ser, a trigonometria recebeu contribuições importantes do matemático inglês Isaac Newton (1643-1727) e do matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783).
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| François Viète | John Napier | Isaac Newton | Leonhard Euler |
III – A matemática que vamos precisar
Vamos iniciar este tópico estabelecendo três razões entre números reais: essas razões aparecem de maneira natural quando lidamos com triângulos retângulos semelhantes e são conhecidas como razões trigonométricas. Então, vamos lá.
Considere uma família de triângulos retângulos [tex]A_1C_1B_1, \, \, A_2C_2B_2, \, \, A_3C_3B_3, \, \, … , \, \, A_nC_nB_n, \, \, …[/tex] de modo que cada triângulo [tex]A_iC_iB_i[/tex] tenha um dos ângulos com medida [tex]\theta[/tex], [tex]0^{\circ} \lt \theta \lt 90^{\circ}[/tex].
Como, dois a dois, esses triângulos têm dois ângulos com a mesma medida, respectivamente [tex]\theta[/tex] e [tex]90^{\circ}[/tex], então todos os triângulos da família são semelhantes e, consequentemente:
● [tex]\dfrac{a_1}{b_1}= \dfrac{a_2}{b_2}=\dfrac{a_3}{b_3}=\cdots =\dfrac{a_n}{b_n}=\cdots [/tex]
● [tex]\dfrac{a_1}{h_1}= \dfrac{a_2}{h_2}=\dfrac{a_3}{h_3}=\cdots =\dfrac{a_n}{h_n}=\cdots [/tex]
● [tex]\dfrac{b_1}{h_1}= \dfrac{b_2}{h_2}=\dfrac{b_3}{h_3}=\cdots =\dfrac{b_n}{h_n}=\cdots [/tex]
Uma observação essencial é que, fixado um ângulo agudo de medida [tex]\theta[/tex], em graus, para todo triângulo retângulo que tenha um de seus ângulos agudos com medida [tex]\theta[/tex], as razões
[tex] \, \dfrac{cateto \, oposto \, a \, \theta}{cateto \, adjacente \, a \, \theta} \, \qquad\qquad[/tex] [tex]\qquad\qquad\dfrac{cateto \, oposto \, a \, \theta}{hipotenusa} \, \qquad\qquad[/tex] [tex]\qquad\qquad \, \dfrac{cateto \, adjacente \, a \, \theta}{hipotenusa} \, [/tex]
são sempre as mesmas.
Notem que, embora definidas por comprimentos de lados de triângulos retângulos, essas razões não dependem, particularmente, dos comprimentos dos lados dos triângulos retângulos considerados:
elas são determinadas pelo ângulo de medida [tex]\theta[/tex] desses triângulos.
Assim, daremos nomes especiais a essas razões, explicitando a dependência entre elas e o ângulo de medida [tex]\theta[/tex]:
● a constante definida pelas razões entre os comprimentos dos catetos opostos e dos catetos adjacentes dos triângulos retângulos semelhantes será denominada “tangente de [tex]\theta[/tex]” e denotada por [tex]tg \, \theta[/tex]:
[tex]\qquad\qquad tg \, \theta= \frac{B_1C_1}{AC_1} =\frac{B_2C_2}{AC_2} = \frac{B_3C_3}{AC_3} = \frac{B_4C_4}{AC_4} =\dots [/tex];
● a constante definida pelas razões entre os comprimentos dos catetos opostos e das hipotenusas dos triângulos retângulos semelhantes será denominada “seno de [tex]\theta[/tex]” e denotada por [tex] \, sen \, \theta[/tex]:
[tex]\qquad\qquad sen \, \theta= \frac{B_1C_1}{AB_1} = \frac{B_2C_2}{AB_2} = \frac{B_3C_3}{AB_3} = \frac{B_4C_4}{AB_4} =\dots [/tex];
● a constante definida pelas razões entre os comprimentos dos catetos adjacentes e das hipotenusas dos triângulos retângulos semelhantes será denominada “cosseno de [tex]\theta[/tex]” e denotada por [tex]cos \, \theta[/tex]:
[tex]\qquad\qquad cos \, \theta= \frac{AC_1}{AB_1} = \frac{AC_2}{AB_2} = \frac{AC_3}{AB_3} = \frac{AC_4}{AB_4} =\dots [/tex].
Como os valores para o seno, o cosseno e a tangente de ângulos com medidas [tex]\theta[/tex], [tex]0^{\circ} \lt \theta \lt 90^{\circ}[/tex], dependem apenas do respectivo [tex]\theta[/tex], é possível construir tabelas contendo aproximações para tais valores, o que facilita enormemente a manipulação desses dados em aplicações. Essas tabelas são conhecidas como tabelas trigonométricas ou tábuas trigonométricas.
Embora razões trigonométricas possam ser calculadas para ângulos com medidas não inteiras, as tabelas trigonométricas mais simples são as que apresentam as razões trigonométricas definidas para ângulos com medidas inteiras entre [tex]0 \, [/tex] e [tex] \, 90[/tex] graus. Para obter uma tabela dessas, é só clicar nos próximos botões:
● para baixar o arquivo, cliquem no botão da direita;
● para apenas consultar, cliquem no botão da esquerda e, depois da consulta, não se esqueçam de fechar a janela que se abriu.
| Consultar | Baixar o arquivo |
Se vocês nunca utilizaram uma tabela trigonométrica, observem que, a partir da medida de um ângulo, podemos encontrar os valores aproximados dos seus respectivos seno, cosseno e tangente; assim como, a partir do valor de uma razão trigonométrica, conseguimos identificar a medida aproximada do ângulo que a produz. E, por favor, não se assustem com esse monte de números, pois não é preciso decorar o seno, o cosseno e a tangente de todos os possíveis ângulos agudos: tabelas como a que apresentamos podem ser facilmente obtidas em livros ou na Internet. Num primeiro momento, o importante é vocês entenderem direitinho o que é o seno, o cosseno e a tangente de um dado ângulo agudo e terem a certeza de que, se necessário, aproximações para esses valores podem ser obtidas, mesmo sem recorrer a tabelas prontas.
Atividade 1: Construindo tabelas
Que tal vocês tentarem construir uma tabela trigonométrica própria?
Essa é uma atividade que, além de ajudá-los no entendimento das razões que definimos, vai ajudá-los no entendimento do próximo tópico.
É só clicar no próximo botão e
boa diversão!
Trabalhando com triângulos retângulos
Vale a pena observarmos, mais uma vez, a praticidade da ideia de que a tangente, o seno e o cosseno de um determinado ângulo agudo de medida [tex]\theta[/tex] podem ser obtidos a partir de um triângulo retângulo conveniente que tenha um de seus ângulos agudos medindo [tex]\theta[/tex]. Isso significa que podemos utilizar tabelas trigonométricas (e calculadoras científicas são tabelas modernas) para obtermos valores de seno, cosseno e tangente de vários ângulos e com isso determinarmos características de triângulos retângulos que apareçam em problemas e até em situações do nosso cotidiano, como a apresentada a seguir.
Um problema inicial
Em uma oficina mecânica, será necessário construir uma rampa para carros, de modo a vencer um desnível de [tex]2,1 \, m[/tex].
Se o ângulo de inclinação deve ter, no máximo, [tex]25^{\circ}[/tex], qual deve ser o comprimento mínimo da rampa? Considerem para a rampa comprimentos representados com uma casa decimal.
Apenas com o que foi até agora exposto, vocês já têm informações mais do que suficientes para resolverem esse probleminha inicial. Mas antes observamos que o estudo específico de propriedades da tangente, do seno e do cosseno de ângulos agudos a partir de triângulos retângulos escolhidos segundo nossa conveniência é o que chamamos de “Trigonometria do Triângulo Retângulo“. Vocês podem ampliar o conhecimento sobre esse assunto acessando esta sala. No entanto, para efeito do que aqui será discutido, vocês precisarão apenas das próximas definições.
Definições
Seja [tex]ACB[/tex] um triângulo retângulo com catetos e hipotenusa com comprimentos [tex]a, \, b, \, h[/tex], respectivamente. Seja [tex]\theta[/tex] a medida em graus de um dos ângulos agudos desse triângulo, [tex]0^{\circ} \lt\theta\lt 90^{\circ}[/tex].
| Chamamos de
● tangente de [tex]\theta[/tex], e denotamos por [tex]tg \, \theta[/tex], a razão entre os comprimentos do cateto oposto e do cateto adjacente a [tex]\theta[/tex]: |
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Agora, voltando ao probleminha inicial, por que vocês não tentam solucioná-lo? Vocês poderão conferir a resposta, ou mesmo tentar entender como o problema pode ser resolvido, clicando no botão abaixo.
IV – Medindo o que não podemos alcançar…
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Quando alguém quer saber o tamanho de uma calculadora eletrônica, de um celular ou uma folha de caderno basta pegar uma régua e medir os aparelhos ou a folha, não é? |
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Sim… |
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Se precisamos medir a largura de uma sala podemos pegar uma fita métrica, esticar e fazer a medição. Para obter as dimensões de um campo de futebol, vamos ao campo, esticamos uma trena e medimos… |
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Aí vem coisa… |
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Mas vocês saberiam como medir objetos muito altos e de difícil acesso? |
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Eu sabia que vinha encrenca… |
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Não é necessário nem pensar em medir a distância entre a Lua e o Sol para verificar que existem situações para as quais os chamados “métodos diretos de medição da distância entre dois pontos” não dão certo, mesmo fazendo uma série de contorcionismos.
Como o próprio nome sugere, a medida de uma distância de modo direto consiste simplesmente na leitura da distância entre dois pontos mediante a utilização de um instrumento de medida: uma régua graduada, uma fita métrica, uma trena. Já nos chamados processos indiretos de medida, uma distância é obtida via cálculos matemáticos que vinculam a “distância a ser calculada” a “outras que são obtidas de modo direto”.
O probleminha inicial ilustra um processo de medição indireta: o dono da oficina mecânica obteve o comprimento da rampa mesmo sem medi-la, aliás, mesmo sem ter a rampa…
O probleminha inicial ilustra também o modo de se resolver muitos dos problemas que envolvem a determinação indireta de distâncias: a partir dos dados, tentamos encontrar um triângulo retângulo de modo que o comprimento da sua hipotenusa ou de um de seus catetos forneça a distância a ser determinada. Fatalmente, a solução desse tipo de problema requer a utilização de razões trigonométricas. Arquitetos, engenheiros e topógrafos se deparam muitas vezes com problemas desse tipo nos projetos que desenvolvem.
Apresentaremos três exemplos clássicos de problemas que envolvem distâncias que precisam ser obtidas por medição indireta não só para que vocês os resolvam, mas, principalmente, para que vocês observem exemplos de medições diretas necessárias para a solução desse tipo de problema. Por falar em medida, informamos que as figuras que ilustram os problemas não estão em escala.
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Uma pessoa com [tex]1,75 \, m[/tex] de altura e que se encontra a [tex]20 \, m[/tex] da base de um edifício vê o ponto mais alto dele sob um ângulo de [tex]50^{\circ}[/tex]. Qual a altura aproximada do edifício?
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A Secretaria de Turismo de uma cidade vai instalar um teleférico ligando os topos de duas montanhas, uma com [tex]872 \, m \, [/tex] e a outra com [tex] \, 761 \, m[/tex] de altura, conforme a figura. Os engenheiros responsáveis pelo projeto mediram o ângulo de vértice [tex]A[/tex] e calcularam que o cabo de aço que sustentará o teleférico tem curvatura e, por isso, seu comprimento é [tex]7\%[/tex] maior que a medida do segmento de reta [tex]AB.[/tex] Assim, calculem o comprimento do cabo.
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Dois engenheiros estão de um mesmo lado de um rio, separados por [tex]30 \, m[/tex] um do outro. Cada um deles, em sua respectiva posição, observa uma pedra que está na margem do outro lado, segundo um ângulo específico, conforme mostra a figura. Supondo que ambos estão afastados da margem de uma distância de [tex]1,7 \, m[/tex] e que as duas margens do rio são paralelas, qual é a largura do rio? (Desconsiderar a diferença de altura entre os observadores e a pedra.)
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Nos problemas resolvidos, podemos observar que foram utilizados dados obtidos por dois tipos de medição direta: ângulos, medidos em graus, e distâncias, medidas em metros, centímetros ou quilômetros. |
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Não podemos usar um transferidor? |
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Hummm, quase isso! |
Atividade 2
Oficinas: Obtendo medidas inacessíveis
Desde as antigas civilizações egípcias, babilônias e gregas, a relação entre as medidas de ângulos e segmentos têm ajudado na solução de grandes problemas como o cálculo da medida do raio da Terra, a determinação da distância relativa do Sol e da Lua, a localização de um navio em alto mar, o cálculo da altura de pirâmides e prédios e da largura de rios e, até, a investigação de distâncias inacessíveis no espaço cósmico.
Em comum, esses problemas, e muitos outros, têm a necessidade do cálculo de distâncias impossíveis ou difíceis de serem determinadas, caso não se dispusesse de conhecimentos vindos da trigonometria. Mas para a determinação dessas medidas inacessíveis é necessário, de alguma forma, se obter dois tipos de medição direta: ângulos e distâncias.
Nos dias de hoje, arquitetos, engenheiros e agrimensores podem contar, na elaboração de seus projetos, com um instrumento eletrônico conhecido como estação total, ou taqueômetro. Com esse tipo de equipamento é possível se medir ângulos e distâncias e, utilizando um computador e tecnologia, transformar, rapidamente, os dados obtidos nessas medições em mapas das áreas que estão sendo estudadas.
Estações totais
Embora a necessidade de se obter distâncias inacessíveis já estivesse presente nas civilizações antigas, essas utilizavam instrumentos de medição que, frente aos que hoje dispomos, poderiam ser considerados, no mínimo, como rudimentares. Mas, a simplicidade não deve impedir que se dê a devida importância a alguns desses antigos instrumentos. As eficientes estações totais, por exemplo, foram desenvolvidas a partir de dois instrumentos de medições topográficas – o teodolito e o distanciômetro – que têm antepassados bem antigos…
E aqui iniciamos a nossa última atividade: a construção de instrumentos muito simples de medida de ângulos para a obtenção, na prática, de medidas inacessíveis. Isso mesmo, vocês vão pôr em prática o que aprenderam com o que foi aqui apresentado e medir distâncias e alturas inacessíveis.
Como vai ser isso?
É só clicar no próximo botão para ver…
Equipe COM – OBMEP
Agosto de 2018.
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