Sala de Atividades: Pavimentação – Sala 2



Pavimentação, caleidoscópios,
caleidociclos, Escher e, até,


. . . Matemática!!!











VI – Escher


Vocês já ouviram falar de um artista gráfico chamado Escher?

Bem, aqui nos Clubes de Matemática da OBMEP vocês já devem ter se deparado com alguns vídeos a respeito dele. Na Videoteca dos Clubes temos o vídeo Inspirations, do cineasta espanhol Cristóbal Vila que imagina como seria o local de trabalho do artista, e o vídeo Escher e a Geometria – um passeio pela exposição “O mundo mágico de Escher”, que ficou em cartaz em São Paulo em julho de 2011.

Caso ainda não conheçam Escher, vale a pena assistir aos vídeos!!

Escher

Maurits Cornelis Escher (1898-1972) é um dos mais famosos artistas gráficos do mundo e seus trabalhos são encontrados em muitos sites da Internet. Ele ficou conhecido, principalmente, pelas construções impossíveis presentes em suas obras, como as duas apresentadas a seguir.

m-c-escher-ascending-and-descending (1)

Cliquem na imagem para ampliá-la, observem-na atentamente e respondam:
as pessoas na escada estão subindo ou descendo?
Essa obra é chamada Ascending and Descending, que podemos traduzir por Sobe e Desce, e é um trabalho realizado em 1960.
Depois de analisar a situação, não se esqueçam de fechar a janela que se abriu.

mc-escher-waterfall

Cliquem na imagem para ampliá-la, observem-na atentamente e respondam:
a água está caindo ou subindo?
Essa outra obra é chamada Waterfall (Queda d´água) e é de 1961.
Depois de analisar a situação, não se esqueçam de fechar a janela que se abriu.

Mas não é por suas construções impossíveis que Escher está nesta Sala. Nos dias de hoje, não podemos falar de pavimentação do plano sem citá-lo.

Desde a sua primeira visita a um castelo Mouro em Granada, Espanha, no ano de 1922, Escher se inspirou nos azulejos espanhóis e se interessou pela divisão regular do plano, criando várias pavimentações. Para conhecer um pouco mais sobre o envolvimento de Escher com a pavimentação, assistam ao vídeo O estranho mundo de Escher, da série Isto é Matemática.





Vamos, então, conhecer um pouquinho sobre
o imenso e maravilhoso “estranho mundo das pavimentações de Escher”.









VII – Um pouco sobre as pavimentações de Escher


Escher explorou de forma brilhante a geometria plana e a geometria espacial em suas obras, mesmo não tendo qualquer formação ou conhecimento de ciências exatas. O seu encanto por figuras geométricas e padrões levou-o a descobrir a Teoria da Divisão do Plano Regular: uma superfície pode ser dividida regularmente em figuras iguais e totalmente preenchida com elas sem a existência de espaços vazios.

Essa técnica já era dominada por povos antigos, que a utilizavam na confecção de seus mosaicos, conforme vimos na Sala 1; mas Escher foi além dos triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos regulares capazes de cobrir o plano sem deixar buracos ou se sobreporem. Ele substituiu os polígonos regulares por figuras que representam coisas existentes na natureza – pessoas, pássaros, peixes, répteis, etc. – e criou imagens envolventes, como as que vemos abaixo.



escher5 E8-MC-Escher-No-8-Horse-1937-1938 E34-MC-Escher-No-34-BirdFish-1941
MC Escher: Plane Filing II, 1957 MC Escher: Horse, 1937-1938 MC Escher: BirdFish, 1941
E55-MC-Escher-No-55-Fish-1942 E57-MC-Escher-No-57-Two-Fish-1942 E17-MC-Escher-No-17-Eagle-1938-138x180
MC Escher: Fish, 1942 MC Escher: Two-Fish, 1942 MC Escher: Eagle, 1938
E21-MC-Escher-No-21-IMP-1938 E25-MC-Escher-No-25-Lizard-1939 E28-MC-Escher-No-28-Three-Birds-1938
MC Escher: IMP, 1938 MC Escher: Lizard, 1939 MC Escher: Three-Birds, 1938


Imagens extraídas de: M.C.Escher

Muito embora os únicos polígonos regulares que são possíveis de serem utilizados para pavimentar o plano sejam o triângulo, o quadrado e o hexágono, Escher combinou, deslocou, girou, refletiu e distorceu essas três figuras matemáticas, obtendo uma maior variedade de padrões e criando pavimentações mais elaboradas. As três palavras em negrito deslocou, girou e refletiu representam o resultado de três ações possíveis de se fazer em um plano de modo que uma figura sobre a qual elas foram aplicadas muda de posição, mas não de forma. Na matemática, essas ações são estudadas e recebem, respectivamente, os seguintes nomes: translação; rotação; reflexão.
simetriatodos2

Para relembrar um pouco sobre elas, cliquem AQUI.

Mesmo desenhando pássaros, peixes e outros animais para dar vida às suas pavimentações, Escher não abandonou os polígonos; pelo contrário, utilizou-os como base para gerar as figuras que compuseram suas pavimentações. Assim, desenhando dentro de polígonos e utilizando degradees de cores e sombras, criou padrões que ficaram conhecidos como metamorfoses (gradativamente, uma figura vai se transformando em outra). Um exemplo dessa técnica vocês podem ver nas próximas figuras. Clicando sobre a primeira figura, vocês poderão assistir a uma animação que brinca com a obra! Clicando sobre a segunda, vocês poderão assistir a um vídeo mostrando detalhes da obra, que mede 19,2 cm x 680 cm. Isso mesmo, 6,8 metros de comprimento.



Cliquem em uma figura e na janela que irá abrir, é só clicar na setinha. Depois de assistir ao vídeo, é só fechar a janela que se abriu.

LW306-MC-Escher-Sky-and-Water-I-1938 (1) 300px-Escher,_Metamorphosis_II
MC Escher: Sky and Water, 1938 MC Escher: Metamorfoses II, 1967-1968









VIII – Treinando para ser um Escher


Para identificar os padrões e simetrias nas pavimentações de Escher, é preciso algum, digamos, “treino visual”.
Nesta atividade disponibilizaremos material com essa finalidade.

Vocês perceberam que algumas isometrias fixam pontos e outras não? Algumas isometrias mantêm orientações e outras não?
Esta atividade explora exatamente isso!

Esta atividade envolve pontos fixos e orientação. Se considerarmos tanto a orientação como os possíveis pontos fixos, o comportamento de cada tipo de isometria tem características únicas. Assim, observem as três isometrias principais – translação; rotação; reflexão – sendo aplicadas em várias figuras e respondam às seguintes perguntas:
A translação deixa pontos fixos? Quais? Quantos?
A translação preserva orientação?
A rotação deixa pontos fixos? Quais? Quantos?
A rotação preserva orientação?
A reflexão por uma reta deixa pontos fixos? Quais? Quantos?
A reflexão por uma reta preserva orientação?


Se for conveniente, vocês podem utilizar a tabela abaixo para registrar suas conclusões.


atividade 11

Escher criava padrões e efeitos surpreendentes a partir de formas geométricas básicas.
Com esta atividade vamos procurar objetos matemáticos disfarçados de arte.

pavi6 Esta é uma bela forma para se criar um padrão de pavimentação, não é?
Mas vamos explorá-la matematicamente com uma única pergunta:
Sabendo que as curvas que definem a figura são semicircunferência de mesmo raio, vocês saberiam calcular a área dessa figura?
Se não sabem, acompanhem as sugestões.
pavi7 Suponham que vocês conheçam as distâncias entre os pontos A, B e C.
Ajudou?
pavi7 Suponham que vocês saibam que as distâncias entre os pontos [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] e [tex]C[/tex] são iguais.
Nada, ainda?
pavi8

Última dica, hem?
Suponha que
[tex]\qquad d(A,B) = d(B,C) = d(C,A) = d[/tex],
una os pontos [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] e [tex]C[/tex] por segmentos de reta e calcule a área em função de [tex]d[/tex].
Agora é com vocês!

Esta era uma das técnicas utilizadas por Escher para desenhar seus padrões de pavimentação.

Você conhece a “técnica da dentada”?









IX – Um dia de Escher


E aí, prontos para um dia de Escher?

Vamos lá, cliquem neste último botão.

Bom trabalho, pessoal!

Boa diversão!!!

botao

Esperamos que vocês tenham gostado da diversão!!

 



Equipe COM – OBMEP

Ir para a Sala 1

Figuras, vídeos e material eventual adaptados ou extraídos de:
➨ Art Perceptions    (Último acesso em 18/06/20)
➨M.C.Escher    (Último acesso em 18/06/20)
➨PAVIMENTAÇÕES NO PLANO EUCLIDIANO    (Último acesso em 18/06/20)
➨Totally History    (Último acesso em 18/06/20)
➨YouTube    (Último acesso em 18/06/20)
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