Vimos na Sala Principal que a força de um terremoto pode ser medida pela sua magnitude e pela sua intensidade: “a magnitude está associada com a energia liberada pelo terremoto”, enquanto “a intensidade é o efeito causado por ele na superfície da Terra”. Assim, quando falamos sobre “calcular a energia liberada por um sismo”, estamos considerando a magnitude e não a intensidade do terremoto.
Vamos recordar?
II – Atividades Individuais
Vamos treinar um pouco com problemas que envolvem a aplicação de logaritmos em terremotos nas provas de vestibulares?
➤ Problema 1:(Enem 2011) A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como [tex]M_w[/tex]), introduzida em [tex]1979[/tex] por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. [tex]M_w[/tex] e [tex]M_0[/tex] se relacionam pela fórmula [tex]M_w=-10,7+\dfrac{2}{3}\cdot log_{10}(M_0)[/tex], onde [tex]M_0[/tex] é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o [tex] dina.cm [/tex]. O terremoto de Kobe, acontecido no dia [tex]17[/tex] de janeiro de [tex]1995[/tex], foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude [tex]M_w=7,3.[/tex]
U.S. GEOLOGICAL SURVEY, Historic Earthquakes. Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).
U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude Policy. Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).
Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico [tex]M_0[/tex] do terremoto de Kobe (em [tex] dina.cm[/tex])?
a) [tex]10^{-5,10}.[/tex]
b) [tex]10^{-0,73}.[/tex]
c) [tex]10^{12,00}.[/tex]
d) [tex]10^{21,65}.[/tex]
e) [tex]10^{27,00}.[/tex]
Item E
Substituindo na equação das escalas a informação [tex]M_w=7,3[/tex] dada no enunciado, vamos obter [tex]\boxed{7,3=-10,7+\dfrac{2}{3} \cdot log_{10}(M_0)}.[/tex]
Efetuando as operações, obtemos:
[tex]\quad 7,3+10,7=\dfrac{2}{3} \cdot log_{10}(M_0) \\
\quad 18=\dfrac{2}{3} \cdot log_{10}(M_0)\\
\quad 27=log_{10}(M_0) \\
\quad M_0=10^{27}.[/tex]
➤ Problema 2:(Enem 2016) Em [tex]2011[/tex], um terremoto de magnitude [tex]9,0[/tex] na escala Richter causou um devastador tsunami no Japão, provocando um alerta na usina nuclear de Fukushima. Em [tex]2013[/tex], outro terremoto, de magnitude [tex]7,0[/tex] na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China), deixando centenas de mortos e milhares de feridos. A magnitude de um terremoto na escala Richter pode ser calculada por [tex]M=\dfrac{2}{3} \cdot log\left(E/E_0 \right)[/tex], sendo [tex]E[/tex] a energia, em [tex]kWh[/tex] liberada pelo terremoto e [tex]E_0[/tex] uma constante real positiva. Considere que [tex]E_1[/tex] e [tex]E_2[/tex] representam as energias liberadas nos terremotos ocorridos no Japão e na China, respectivamente.
Qual a relação entre [tex]E_1[/tex] e [tex]E_2[/tex]?
a) [tex]E_1=E_2+2.[/tex]
b) [tex]E_1=10^2 \cdot E_2.[/tex]
c) [tex]E_1=10^3 \cdot E_2.[/tex]
d) [tex]E_1=10^{9/7} \cdot E_2.[/tex]
e) [tex]E_1=\dfrac{9}{7} \cdot E_2.[/tex]
Item C
Observe que que
[tex]\qquad \qquad M=\dfrac{2}{3} \cdot log\left(E/E_0 \right) \iff log\left(E/E_0 \right)= \dfrac{3M}{2} \iff \boxed{E=E_0 \cdot 10^{3M/2}}.[/tex]
Daí, como [tex]M_1=9[/tex] e [tex]M_2=7[/tex], temos [tex]E_1=E_0 \cdot 10^{27/2}~[/tex] e [tex]~E_2=E_0 \cdot 10^{21/2}.[/tex]
Portanto, segue que:
[tex]\quad E_1=E_0 \cdot 10^{27/2}\\
\quad E_1=E_0 \cdot 10^{21/2} \cdot 10^{6/2}\\
\quad E_1=E_2 \cdot 10^3.[/tex]
➤ Problema 3:(Enem 2017) Nas informações veiculadas nos órgãos de comunicação quando da ocorrência de um terremoto, faz-se referência à magnitude [tex](M)[/tex], que se refere a quantos graus o fenômeno atingiu na escala Richter. Essa medida quantifica a energia liberada no epicentro do terremoto, e em seu cálculo utilizam-se como parâmetros as medidas da amplitude sísmica [tex](A)[/tex], em micrômetro, e da frequência [tex](f)[/tex], em hertz. Esses parâmetros são medidos por aparelhos especiais chamados sismógrafos, e relacionam-se segundo a função [tex]M=log(A \times f)+3,3[/tex]. Pela magnitude do terremoto na escala Richter, pode-se estimar seus efeitos de acordo com o quadro, onde não estão considerados terremotos de magnitudes superiores a [tex]7,9.[/tex]
Um terremoto teve sua amplitude e frequências medidas e obteve-se [tex]A=1\ 000[/tex] micrômetros e [tex]f=0,2[/tex] hertz. Use [tex]-0,7[/tex] como aproximação para [tex]log\,0,2.[/tex]
Considerando o quadro apresentado, e analisando o resultado da expressão que fornece a magnitude desse terremoto, conclui-se que ele foi
a) registrado, mas não percebido pelas pessoas.
b) percebido, com pequenos tremores notados pelas pessoas.
c) destrutivo, com consequências significativas em edificações pouco estruturadas.
d) destrutivo, com consequências significativas para todo tipo de edificação.
e) destrutivo, com consequências nas fundações dos edifícios, fendas no solo e tubulações no subsolo.
Item C
Como [tex]\boxed{M=log(A \times f)+3,3}[/tex], para [tex]A=1\ 000 \mu m[/tex] e [tex]f=0,2\ Hz[/tex] temos:
[tex]\quad M=log(1\ 000 \cdot 0,2)+3,3\\
\quad M=log10^3+log0,2+3,3\\
\quad M \approx 3-0,7+3,3 \\
\quad M\approx 5,6.[/tex]
Portanto, podemos concluir que ele foi destrutivo, com consequências significativas em edificações pouco estruturadas.
➤ Problema 4:(Enem 2017) Em [tex]2011[/tex], a costa nordeste do Japão foi sacudida por um terremoto com magnitude de [tex]8,9[/tex] graus na escala Richter. A energia liberada [tex]E[/tex] por esse terremoto, em [tex]kWh[/tex], pode ser calculada por [tex]R=\dfrac{2}{3} \cdot log\left(\dfrac{E}{E_0} \right)[/tex], sendo [tex]E_0=7 \cdot 10^{-3} \ kWh[/tex] e [tex]R[/tex] a magnitude desse terremoto na escala Richter. Considere [tex]0,84[/tex] como aproximação para [tex]log\,7[/tex].
➤ Problema 5:(Enem 2018) Em março de [tex]2011[/tex], um terremoto de [tex]9,0[/tex] graus de magnitude na escala Richter atingiu o Japão matando milhares de pessoas e causando grande destruição. Em janeiro daquele ano, um terremoto de [tex]7,0[/tex] graus na escala Richter atingiu a cidade de Santiago Del Estero, na Argentina. A magnitude de um terremoto, medida pela escala Richter, é [tex]R=log\left(\dfrac{A}{A_0} \right)[/tex], em que [tex]A[/tex] é a amplitude do movimento vertical do solo, informado em um sismógrafo, [tex]A_0[/tex] é a amplitude de referência e [tex]log[/tex] representa o logaritmo na base [tex]10.[/tex]
A razão entre as amplitudes dos movimentos verticais dos terremotos do Japão e da Argentina é
a) [tex]1,28[/tex]
b) [tex]2,0[/tex]
c) [tex]10^{9/7}[/tex]
d) [tex]100[/tex]
e) [tex]10^9-10^7[/tex]
Item D
Observe que:
[tex]\qquad R=log\left(\dfrac{A}{A_0} \right) \iff \dfrac{A}{A_0}=10^R \iff A=A_0 \cdot 10^R.[/tex]
Logo, se [tex]A_J[/tex] e [tex]A_A[/tex] são, respectivamente, as amplitudes dos movimentos verticais dos terremotos do Japão e da Argentina, então:
[tex]\quad \dfrac{A_J}{A_A}=\dfrac{A_0 \cdot 10^9}{ A_0 \cdot 10^7}=100.[/tex]
➤ Problema 6:(Enem 2019) Charles Richter e Beno Gutenberg desenvolveram a escala Richter, que mede a magnitude de um terremoto. Essa escala pode variar de [tex]0[/tex] a [tex]10[/tex], com possibilidades de valores maiores. O quadro mostra a escala de magnitude local [tex](M_S)[/tex] de um terremoto que é utilizada para descrevê-lo.
Para se calcular a magnitude local, usa-se a fórmula [tex]M_S=3,30+log(A \cdot f)[/tex], em que [tex]A[/tex] representa a amplitude máxima da onda registrada por um sismógrafo em micrômetro [tex]\mu m[/tex] e [tex]f[/tex] representa a frequência da onda, em hertz [tex](Hz)[/tex]. Ocorreu um terremoto com amplitude máxima de [tex]2\ 000\ \mu m[/tex] e frequência de [tex]0,2\ Hz[/tex].
Utilize [tex]0,3[/tex] como aproximação para [tex]log\,2[/tex]. De acordo com os dados fornecidos, o terremoto ocorrido pode ser descrito como
a) Pequeno.
b) Ligeiro.
c) Moderado.
d) Grande.
e) Extremo.
Item C
Sendo
[tex]\quad M_S=3,3+log(2\ 000 \cdot 0,2)\\
\quad M_S=3,3+log(2^2 \cdot 10^2)\\
\quad M_S=3,3+log\,2^2+log\,10^2[/tex]
segue que:
[tex]\quad M_S = 3,3+2 \cdot log\,2+2 \cdot log\,10 \approx 3,3 +0,6+2 = 5,9.[/tex]
Dessa forma, podemos concluir que o terremoto ocorrido pode ser descrito como Moderado.
➤ Problema 7:(Unifor 2018) Desde tempos imemoriais, o homem vem buscando formas de medir e quantificar fenômenos naturais. Nesse processo, desenvolveu ferramentas físicas e abstratas para auxiliá-lo. Uma dessas ferramentas desenvolvidas foi o logaritmo na base [tex]10[/tex], representado aqui por log. A medida da magnitude [tex]R[/tex] de um terremoto, medido pela escala Richter, é [tex]R=log\left(\dfrac{a}{T}\right)+B[/tex], onde [tex]a[/tex] é a amplitude (em micrômetros) do movimento vertical do solo, que é informado em um sismógrafo; [tex]T[/tex] é o período do abalo sísmico em segundos e [tex]B[/tex] é a amplitude do abalo sísmico, com distância crescente partindo do centro do terremoto. ● Em [tex]16[/tex] de setembro de [tex]2015[/tex], um terremoto de magnitude [tex]8,3[/tex] atingiu o Chile, próximo à região de Valparaíso, deixando várias vítimas. ● Em [tex]08[/tex] de setembro de [tex]2017[/tex], um terremoto de magnitude [tex]5,3[/tex] atingiu a região norte do Japão.
Sabendo que os dois terremotos acima tiveram a mesma amplitude [tex]B[/tex] e período [tex]T[/tex], podemos afirmar que com relação à amplitude do movimento vertical do solo, o terremoto no Chile foi
a) [tex]2[/tex] vezes mais forte que o do Japão.
b) [tex]3[/tex] vezes mais forte que o do Japão.
c) [tex]10[/tex] vezes mais forte que o do Japão.
d) [tex]100[/tex] vezes mais forte que o do Japão.
e) [tex]1\ 000[/tex] vezes mais forte que o do Japão.
Item E
● Para o terremoto do Chile temos que:
[tex]\qquad 8,3=log\left(\dfrac{a_{Chile}}{T}\right)+B\\
\qquad 8,3-B= log\left(\dfrac{a_{Chile}}{T}\right)\\
\qquad \dfrac{a_{Chile}}{T}=10^{8,3-B} \\
\qquad \boxed{ a_{Chile} =T \cdot 10^{8,3-B}}.[/tex]
● Para o terremoto do Japão, temos que:
[tex]\qquad 5,3=log\left(\dfrac{a_{Japão}}{T}\right)+B \\
\qquad 5,3-B= log\left(\dfrac{a_{Japão}}{T}\right) \\
\qquad \dfrac{a_{Chile}}{T}=10^{5,3-B} \\
\qquad \boxed{ a_{Japão} =T \cdot 10^{5,3-B}}.[/tex]
Deste modo,
[tex]\quad \dfrac{a_{Chile}}{a_{Japão}}=\dfrac{T \cdot 10^{8,3-B}}{T \cdot 10^{5,3-B}}=10^{8,3-B-(5,3-B)}\\
\quad \dfrac{a_{Chile}}{a_{Japão}} =10^3=1\ 000[/tex]
e, portanto, o terremoto no Chile foi [tex]1\ 000[/tex] vezes mais forte que o do Japão.
➤ Problema 8:(Fuvest – Adaptada) A magnitude [tex]M[/tex] de um terremoto pode ser calculada pela fórmula [tex]M=\dfrac{2}{3} \cdot log_{10}\left(\dfrac{E}{E_0}\right)[/tex], onde [tex]E[/tex] é a energia liberada no terremoto em quilowatt-hora e [tex]E_0=7 \cdot 10^{-3}\ kWh[/tex].
Aumentando de uma unidade a magnitude do terremoto, por quanto fica multiplicada a energia liberada?
a) [tex]8 \cdot \sqrt{10}[/tex]
b) [tex]9 \cdot \sqrt{10}[/tex]
c) [tex]10 \cdot \sqrt{10}[/tex]
d) [tex]11 \cdot \sqrt{10}[/tex]
e) [tex]12 \cdot \sqrt{10}[/tex]
Item C
Observe, inicialmente, que:
[tex]\quad M=\dfrac{2}{3} \cdot log_{10}\left(\dfrac{E}{E_0}\right) \iff log_{10}\left(\dfrac{E}{E_0}\right)=\dfrac{3 \cdot M}{2} \iff \boxed{E=E_0 \cdot 10^\frac{3 \cdot M}{2}}.[/tex]
Com isso, aumentando uma unidade a magnitude do terremoto segue que a energia [tex]E_a[/tex] correspondente é dada por:
[tex]\quad E_a=E_0 \cdot 10^\frac{3 \cdot (M+1)}{2}\\
\quad E_a= \left(E_0 \cdot 10^\frac{3 \cdot M}{2}\right) \cdot 10^\frac{3}{2}\\
\quad E_a=E \cdot \textcolor{red}{10 \cdot \sqrt{10}}.[/tex]
Dessa forma, aumentando de uma unidade a magnitude do terremoto, a energia liberada fica multiplicada por [tex]10 \cdot \sqrt{10}[/tex].
E que tal resolver agora alguns problemas gerais envolvendo logaritmos?
➤ Problema 9:Kyle Korver é um famoso jogador de basquete da NBA. Ainda na carreira escolar, ele possuía a marca de aproximadamente [tex]0,9[/tex] de acertos ([tex]90\%[/tex]) da linha de lance livre, por jogo.
Uma emissora de TV resolveu lançar a Kyle Korver um desafio de lances livres, no qual ele deve arremessar seguidas vezes na mesma tabela. Porém, entre um arremesso e outro, ele deve ir até o meio da quadra receber a bola de um fã.
Considerando que a probabilidade de ele acertar um arremesso qualquer nestas condições seja a mesma de sua carreira escolar, a partir de qual lançamento a probabilidade de ele não acertar todos os lances livres torna-se maior que a de ter acertado todos? Para efeito de cálculos, considere [tex]log(2) \approx 0,3010 \, [/tex] e [tex] \, log(3) \approx 0,4771[/tex].
➤ Problema 11: Qual é o valor da expressão [tex] \, \boxed{ \dfrac{1}{\log_2 100!} + \dfrac{1}{\log_3 100!} + \dfrac{1}{\log_4 100!} + \cdots + \dfrac{1}{\log_{100} 100!}}?[/tex]
Solução
➤ Problema 12: Quantos dígitos há na representação decimal de [tex]2^{1000}?[/tex]
Solução
➤ Problema 13: Digitando um número e pressionando a tecla [tex]\log[/tex] de uma calculadora científica, aparece no visor o logaritmo decimal do número que foi digitado. Digita-se inicialmente o número [tex]88888888[/tex] (oito oitos).
Quantas vezes a tecla [tex]\log[/tex] precisa ser pressionada para que apareça uma mensagem de erro?
Solução
➤ Problema 14: Sejam [tex]x[/tex], [tex]y[/tex] e [tex]z[/tex] números reais que satisfazem as equações
Sabendo que [tex]xyz[/tex] é um número inteiro, encontre o valor de [tex]|log_{5}x|+|log_{5}y|+|log_{5}z|[/tex].
Solução
➤ Problema 15: (FUVEST – Adaptado) Sabendo que o logaritmo de [tex]3[/tex] na base [tex]10[/tex] é aproximadamente [tex]0,47712[/tex], quantos algarismos possui o número [tex]3^{1000}[/tex]?
Solução
➤ Problema 16: Para cada inteiro positivo [tex]n[/tex], considere a função assim definida:
[tex]\qquad \qquad f(n)=\log_{2730} n^2[/tex], com o logaritmo na base [tex]2730.[/tex]
Nessas condições, quanto vale [tex]f(13)+f(14)+f(15)[/tex]?
Solução
➤ Problema 17:(ENEM/2019) Leia o texto a seguir.
A Hydrangea macrophylla é uma planta com flor azul ou cor-de-rosa, dependendo do pH do solo no qual está plantada. Em solo ácido (ou seja, com [tex] pH \lt 7[/tex]) a flor é azul, enquanto que em solo alcalino (ou seja, com [tex] pH \gt 7[/tex]) a flor é rosa. Considere que a Hydrangea cor-de-rosa mais valorizada comercialmente numa determinada região seja aquela produzida em solo com pH inferior a [tex]8.[/tex]
Sabe-se que [tex]pH=–log_{10}x[/tex], em que [tex]x[/tex] é a concentração de íon hidrogênio ([tex]H^+[/tex]).
Para produzir a Hydrangea cor-de-rosa de maior valor comercial, deve-se preparar o solo de modo que [tex]x[/tex] assuma
(A) qualquer valor acima de [tex]10^{–8}.[/tex]
(B) qualquer valor positivo inferior a [tex]10^{–7}.[/tex]
(C) valores maiores que [tex]7[/tex] e menores que [tex]8.[/tex]
(D) valores maiores que [tex]70[/tex] e menores que [tex]80.[/tex]
(E) valores maiores que [tex]10^{–8}[/tex] e e menores que [tex]10^{–7}.[/tex]
Para assistir, é só clicar na setinha.
III – Atividades em Grupo
ATIVIDADE 1: Vamos construir um Sismógrafo?
O vídeo abaixo mostra como construir um sismógrafo simples.
COMO HACER UN SISMOGRAFO CASERO
(QUE FUNCIONA DE VERDAD)
Sismografo de Emil Wiechert
Para assistir, é só clicar na setinha.
Existem diversos componentes sofisticados que são utilizados nessa construção indicada no vídeo, o que pode dificultar para vocês a atividade.
Mas vocês podem pesquisar e encontrar um outro modo de construir um sismógrafo para cumprir a missão!
ATIVIDADE 2: Aplicação dos Logaritmos na Acústica
Vocês tomam cuidado com os ouvidos de vocês?
Leiam o texto a seguir e respondam as perguntas abaixo.
Vamos entender um pouco como funciona o ouvido humano.
Observe a ilustração.
Quando o som está muito perto da orelha, ele é mais prejudicial porque vai direto para o tímpano.
Quando está propagado em um ambiente, como o interior de um carro, sofre interferência da janela, dos bancos e de toda a estrutura do automóvel até chegar ao tímpano, dessa vez com menor pressão sonora.
Assim como o resto do corpo, o ouvido também envelhece e, a partir dos 50 anos, as células auditivas começam a morrer. Esse envelhecimento, porém, não causa perda total da audição a não ser que esteja associado a outras doenças.
➤ Pergunta 1: Sabemos que existem diversos fatores internos ligados ao corpo que promovem a perda de audição humana.
Pesquisem e enumerem tais fatores.
➤ Pergunta 2: Existem fatores externos que podem promover a perda de audição humana.
Pesquisem e enumerem tais fatores.
➤ Pergunta 3: Pesquisem sobre os limites de tolerância para ruídos contínuos ou intermitentes no nosso dia-a-dia em:
a) uma avenida;
b) um show de rock;
c) um cortador de grama;
d) uma turbina de avião;
e) um carro;
f) uma conversa.
Imagem extraída do site G1 – Bem Estar. (Acesso em 02/02/2024.)
➤ Pergunta 4: Vocês sabiam que o nível sonoro pode ser calculado por meio de uma expressão matemática de maneira análoga à que fizemos no cálculo da magnitude de um terremoto?
Qual seria essa expressão? Qual a unidade de medida para nível sonoro?
●Expressão: [tex]N_S=10 \cdot log_{10} \left(\dfrac{I}{I_0}\right)[/tex]
na qual
[tex]\quad N_S[/tex] é o nível sonoro;
[tex]\quad I[/tex] é a intensidade do som considerado;
[tex]\quad I_0[/tex] é o limiar de audibilidade. ● O nível sonoro é medido em decibéis [tex](dB). [/tex]
ATIVIDADE 3: Uma pesquisa
Pesquisem outras aplicações dos logaritmos e registrem a pesquisa de vocês em texto, imagens ou vídeo.
Se ficar bem bacana, poderemos postar no nosso Blog!
IV – Um vídeo para finalizar
Até agora vocês trabalharam com “fórmulas prontas” registradas nas discussões e nos problemas que apresentamos; pois, afinal, estávamos interessados na Matemática dos terremotos. Mas se vocês estão se perguntado como foram estabelecidas relações entre as várias grandezas que aparecem nessas fórmulas, assistam ao vídeo a seguir.
