Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Quantos dígitos há na representação decimal de [tex]2^{1000}[/tex] ?
Solução
Seja [tex]x[/tex] um número natural com [tex]n[/tex] dígitos. Assim, [tex]x[/tex] pode ser escrito como
[tex]\qquad\qquad \boxed{x=a_na_{n-1}\cdots a_2a_1}[/tex], sendo [tex]a_1, \, a_2, \, \cdots, \, a_{n-1}, \, a_n[/tex] os seus [tex]n[/tex] dígitos.
Dessa forma,
[tex]\qquad\qquad x=a_n\cdot 10^{n-1}+a_{n-1}\cdot 10^{n-2}+\cdots+ a_2\cdot 10^1+a_1[/tex],
e, então,
[tex] \qquad\qquad 10^{n-1} \leq x \lt 10^n[/tex].
Como a função logaritmo decimal é crescente, temos
[tex]\qquad\qquad log 10^{n – 1} \le log\, x \lt log 10^{n – 1}[/tex],
donde
[tex]\qquad\qquad n – 1 \leq log\, x \lt n[/tex],
ou ainda,
[tex]\qquad\qquad n \leq log\, x +1 \lt n+1[/tex].
Logo, temos [tex]n = \left \lfloor log\,x \right \rfloor + 1[/tex], sendo [tex] \left \lfloor log\,x \right \rfloor [/tex] o piso do número real [tex] log\,x [/tex].[tex]\qquad\qquad (i)[/tex]
Se você não sabe, o piso de um número real [tex]z[/tex] é o “arredondamento de [tex]z[/tex] para baixo” e é denotado por [tex] \left \lfloor z \right \rfloor.[/tex]
Assim, se [tex]z[/tex] é um número real, o piso de [tex]z[/tex] é o único número inteiro [tex] \left \lfloor z \right \rfloor [/tex] tal que [tex] \left \lfloor z \right \rfloor \le z \lt \left \lfloor z \right \rfloor +1[/tex].
Por exemplo:
Assim, se [tex]z[/tex] é um número real, o piso de [tex]z[/tex] é o único número inteiro [tex] \left \lfloor z \right \rfloor [/tex] tal que [tex] \left \lfloor z \right \rfloor \le z \lt \left \lfloor z \right \rfloor +1[/tex].
Por exemplo:
- o piso de [tex]6,58[/tex] é [tex]6[/tex];
- o piso de [tex]0,14[/tex] é [tex]0[/tex];
- o piso de [tex]231,21[/tex] é [tex]231[/tex];
- o piso de [tex]9[/tex] é [tex]9[/tex].
Em símbolos,
[tex] \qquad\qquad \left \lfloor 6,58 \right \rfloor=6 [/tex];
[tex]\qquad\qquad \left \lfloor 0,14 \right \rfloor=0 [/tex];
[tex]\qquad\qquad \left \lfloor 231,21 \right \rfloor=231 [/tex];
[tex]\qquad\qquad \left \lfloor 9 \right \rfloor=9 [/tex].
Deste modo, por [tex](i)[/tex], o número de dígitos de [tex]2^{1000}[/tex] é
[tex]\begin{align*} \qquad\qquad \left \lfloor log\,2^{1000} \right \rfloor + 1 &= \left \lfloor 1000 \cdot log\,2 \right \rfloor + 1 \\ &= \left \lfloor 1000 \cdot 0,301 \right \rfloor + 1 \\ & = 302 \end{align*}[/tex]
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