Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Kyle Korver é um famoso jogador de basquete da NBA. Ainda na carreira escolar, ele possuía a marca de aproximadamente [tex]0,9[/tex] de acertos ([tex]90\%[/tex]) da linha de lance livre, por jogo.
Uma emissora de TV resolveu lançar a Kyle Korver um desafio de lances livres, no qual ele deve arremessar seguidas vezes na mesma tabela. Porém, entre um arremesso e outro, ele deve ir até o meio da quadra receber a bola de um fã.
Considerando que a probabilidade de ele acertar um arremesso qualquer nestas condições seja a mesma de sua carreira escolar, a partir de qual lançamento a probabilidade de ele não acertar todos os lances livres torna-se maior que a de ter acertado todos?
Para efeito de cálculos, considere [tex]log(2) \approx 0,3010 \, [/tex] e [tex] \, log(3) \approx 0,4771[/tex].
Para assistir ao vídeo e curtir algumas cestas feitas pelo jogador, é só clicar na primeira setinha!
Para ver 11 pontos feitos pelo jogador em quatro cestas em 1 minuto de partida, é só clicar na segunda setinha!
Solução
Consideremos os lançamentos independentes e cada um com a probabilidade de acerto do enunciado. Assim, após [tex]n[/tex] lançamentos, a probabilidade de Kyle Korver acertar todos os lances livres é [tex]0,9^n.[/tex]
Dessa forma, a probabilidade de ele não acertar todos é de [tex]1-0,9^n.[/tex]
Assim, queremos [tex]\boxed{0,9^n\lt 1-0,9^n} \, [/tex] e, portanto:
[tex]\qquad 2\cdot 0,9^n \lt1[/tex]
[tex]\qquad 0,9^n \lt\frac{1}{2} \, . \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Aplicando logaritmo em ambos os termos da desigualdade [tex] \textcolor{#800000}{(i)}[/tex], segue que:
[tex]\qquad log(0,9^n )\lt log(\frac{1}{2})[/tex]
[tex]\qquad n(log(9)-log(10)) \lt log(1)-log(2)[/tex]
[tex]\qquad n(log(3^2)-1) \lt 0-log(2)[/tex]
[tex]\qquad n(2log(3)-1)\lt -log(2) \, . \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Substituindo os valores [tex]log(2) \approx 0,3010~[/tex] e [tex]~log(3) \approx 0,4771[/tex] em [tex] \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], finalizamos os nossos cálculos:
[tex]\qquad n(0,9542-1)\lt -0,3010[/tex]
[tex]\qquad n\gt \dfrac{0,3010}{0,0458}[/tex]
[tex]\qquad n\gt 6,5720 \, .[/tex]
Logo, a partir do [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$7^o$} \, [/tex] arremesso, a probabilidade de o jogador não ter acertado todos os lances livres torna-se maior do que a de ter acertado todos.
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