Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Qual é o valor da expressão [tex] \, \, \dfrac{1}{\log_2 100!} + \dfrac{1}{\log_3 100!} + \dfrac{1}{\log_4 100!} + \cdots + \dfrac{1}{\log_{100} 100!}?[/tex]
Solução
Por simples escolha, vamos mudar a base de todos os logaritmos que aparecem na expressão a ser calculada para a base [tex]2[/tex].
Assim, observe que, para cada número natural [tex]k[/tex] de [tex]2[/tex] a [tex]100[/tex], temos que [tex] \, \log_{k} 100! = \dfrac{\log_2 100!}{\log_2 k} \, [/tex] e, portanto, [tex]\fcolorbox{#800000}{}{$\dfrac{1}{\log_k 100!} = \dfrac{\log_2 k}{\log_2 100!}$}[/tex].
Dessa forma,
[tex]\qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{1}{\log_2 100!} + \dfrac{1}{\log_3 100!} + \dfrac{1}{\log_4 100!} + \cdots + \dfrac{1}{\log_{100} 100!}$}=\\
\qquad =\dfrac{\log_2 2}{\log_2 100!} + \dfrac{\log_2 3}{\log_2 100!} + \dfrac{\log_2 4}{\log_2 100!} + \cdots + \dfrac{\log_2 100}{\log_2 100!}\\
\qquad =\left(\dfrac{1}{\log_2 100!}\right)(\log_2 2 + \log_2 3 + \cdots + \log_2 100).[/tex]
Mas, sabemos que [tex]\fcolorbox{#800000}{}{$\log_ab+\log_ac=\log_a(bc)$}[/tex], logo
[tex]\qquad \log_2 2 + \log_2 3 + \cdots + \log_2 100 = \log_2 (2\cdot 3\cdot \ldots \cdot 100)[/tex],
e, assim, a soma em questão será dada por:
[tex]\qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{1}{\log_2 100!} + \dfrac{1}{\log_3 100!} + \dfrac{1}{\log_4 100!} + \cdots + \dfrac{1}{\log_{100} 100!}$}=\\
\qquad =\dfrac{1}{\log_2 100! } \cdot \log_2 (2\cdot 3\cdot \ldots \cdot 100)\\
\qquad = \dfrac{1}{\log_2 100!} \cdot \log_2 100! = 1[/tex]
ou seja,
[tex]\qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{1}{\log_2 100!} + \dfrac{1}{\log_3 100!} + \dfrac{1}{\log_4 100!} + \cdots + \dfrac{1}{\log_{100} 100!}= 1$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.