Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Digitando um número e pressionando a tecla [tex]\log[/tex] de uma calculadora científica, aparece no visor o logaritmo decimal do número que foi digitado. Digita-se inicialmente o número [tex]88888888[/tex] (oito oitos).
Quantas vezes a tecla [tex]\log[/tex] precisa ser pressionada para que apareça uma mensagem de erro?
Lembretes
Na nossa solução, utilizamos algumas propriedades logarítmicas.
(1) [tex]\log_{b}\;a[/tex] existe se, e somente se, [tex]a \gt 0[/tex], [tex]b \gt 0[/tex] e [tex]b \not=1[/tex]
(2) Se [tex]a \gt 0[/tex] e [tex]a \not=1[/tex], então [tex]\log_a\;a=1[/tex]
(3) Se [tex]a \gt 0[/tex] e [tex]a \not=1[/tex], então [tex]\log_a\;a^{n}=n[/tex]
Solução
Como [tex]10^{7} \lt 88888888 \lt 10^{8}[/tex], [tex]\log\;10^{7}=7[/tex] e [tex]\log\;10^{8}=8[/tex], podemos concluir que [tex]7 \lt \log\;88888888 \lt 8[/tex]. Ou seja,
- ao apertar a tecla [tex]\log[/tex] pela primeira vez, aparecerá um número do tipo [tex]\boxed{7, \dots} \, .[/tex]
Perceba que [tex]1 \lt \boxed{7, \dots}\lt 10[/tex], então [tex]\log\;1 \lt \boxed{7, \dots}\lt \log\;10[/tex].
Daí, concluímos que [tex]0 \lt \boxed{7, \dots} \lt 1[/tex]. Dessa forma,
- ao apertar a tecla [tex]\log[/tex] pela segunda vez, aparecerá um número do tipo [tex]\boxed{0, \dots} \, .[/tex]
Repare que [tex]\boxed{0, \dots} \lt 1[/tex], então [tex]\log\; \boxed{0, \dots} \lt \log\;1=0[/tex]. Assim, [tex]\log\; \boxed{0, \dots}[/tex] é negativo.
Isso nos mostra que
- na terceira vez que for utilizada a tecla [tex]\log[/tex], aparecerá [tex]\boxed{\text{um número negativo no visor}} \, .[/tex]
Pela condição de existência de logaritmos, o logaritmando deve ser um número real positivo. Portanto,
- na quarta vez que a tecla [tex]\log[/tex] for apertada aparecerá uma [tex]\boxed{\text{mensagem de erro}} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.