Grandezas proporcionais, Regras de três e Aplicações – Problemas
Problemas
Problema 1: (Vunesp 2019) Uma torneira goteja sem parar, desperdiçando 2 litros de água a cada 44 minutos. Mantendo sempre esse mesmo gotejamento, determine o número aproximado de litros de água que serão desperdiçados em 4 horas.
Solução: As duas grandezas envolvidas no problema são tempo e quantidade de água, em litros. Considerando o fato de que 4 horas equivalem a 240 minutos, podemos montar a tabela de dados a seguir.
Observe que quanto maior o volume de água desperdiçado, maior terá sido o tempo em que a torneira ficou gotejando, o que implica que as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais.
Montando a equação de proporcionalidade, segue que:
[tex]\qquad \dfrac{x}{2} = \dfrac{240}{44}\\
\qquad 44x = 2\times 240\\
\qquad \boxed{x \approx 11}.\\
[/tex] Logo, em 4 horas, serão desperdiçados aproximadamente 11 litros de água.
Problema 2: (Enem 2013) Um dos grandes problemas enfrentados nas rodovias brasileiras é o excesso de carga transportada pelos caminhões. Dimensionado para o tráfego dentro dos limites legais de carga, o piso das estradas se deteriora com o peso excessivo dos caminhões. Além disso, o excesso de carga interfere na capacidade de frenagem e no funcionamento da suspensão do veículo, causas frequentes de acidentes.
Ciente dessa responsabilidade e com base na experiência adquirida com pesagens, um caminhoneiro sabe que seu caminhão pode carregar no máximo 1500 telhas ou 1200 tijolos.
Considerando esse caminhão carregado com 900 telhas, quantos tijolos, no máximo, podem ser acrescentados à carga de modo a não ultrapassar a carga máxima do caminhão?
Solução: As duas grandezas envolvidas no problema são quantidade de tijolos e quantidade de telhas.
Como o caminhão já está carregado com 900 telhas, então poderíamos acrescentar mais 600 telhas para atingir a carga máxima.
No entanto, essa carga deve ser completada com tijolos; ou seja, precisamos saber quantos tijolos podem ser transportados no lugar das 600 telhas. Assim, podemos montar uma tabela de dados como a mostrada a seguir.
Observe que quanto mais tijolos são transportados em um determinado espaço, mais telhas poderiam ser transportadas no mesmo espaço, assim, as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais.
Montando a equação de proporcionalidade, segue que:
[tex]\qquad \dfrac{x}{1200} = \dfrac{600}{1500}\\
\qquad 15x = 6\times 1200 \\
\qquad \boxed{x=480}.\\
[/tex] Logo, poderão ser acrescentados 480 tijolos à carga.
Problema 3: (Vunesp 2014) Sabe-se que 15 funcionários conseguem arquivar 450 processos por dia. Quantos processos 25 funcionários, com a mesma capacidade dos anteriores, arquivariam por dia?
Solução: As duas grandezas envolvidas no problema são quantidade de funcionários e quantidade de processos.
Quanto mais funcionários, maior a quantidade de processos que serão arquivados. Então, as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais.
Montando a equação de proporcionalidade, segue que:
[tex]\qquad \dfrac{x}{450} = \dfrac{25}{15}\\
\qquad 15x = 25\times 450\\
\qquad \boxed{x=750}.\\
[/tex] Logo, os 25 funcionários arquivariam 750 processos por dia.
Problema 4: Na pandemia de COVID-19, uma confecção se dedicou à fabricação de máscaras de tecido. Quando a confecção tinha 8 funcionários, eram produzidas 184 máscaras diariamente.
Com o objetivo de atingir uma produção de 500 máscaras diárias, quantos funcionários no mínimo foram contratados a mais?
Solução: As duas grandezas envolvidas no problema são quantidade de funcionários e quantidade de máscaras produzidas.
Quanto mais funcionários, maior a quantidade de máscaras produzidas. Então, as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais.
Montando a equação de proporcionalidade, segue que:
[tex]\qquad \dfrac{x}{8} = \dfrac{500}{184}\\
\qquad 184x = 8\times 500\\
\qquad \boxed{x\approx 22}.\\
[/tex] Logo, foram contratados, aproximadamente, 14 funcionários a mais.
Problema 5: Uma das bebidas mais consumidas no mundo é o refrigerante. Durante o verão, devido às altas temperaturas, o consumo dessa bebida tende a ser maior e, com isso, uma fabricante local da cidade de Juazeiro do Norte decidiu aumentar a produção da bebida. Sabendo que ela consegue produzir e engarrafar 4000 refrigerantes em 8 horas, qual será o tempo necessário de trabalho para produzir e engarrafar 5000 refrigerantes?
Solução: As duas grandezas envolvidas no problema são quantidade de refrigerantes produzidos e horas diárias de trabalho.
Quanto mais horas diárias de trabalho, maior será a quantidade de refrigerantes produzidos, e então as grandezas são diretamente proporcionais.
Montando a equação de proporcionalidade, segue que:
[tex]\qquad \dfrac{x}{8} = \dfrac{5000}{4000}\\
\qquad 4x = 40\\
\qquad \boxed{x=10}.\\
[/tex] Logo, serão necessárias 10 horas de trabalho.
Problema 6: (IFES 2006) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais, suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa contratasse mais 500 empregados que recebessem almoço nas condições anteriores, a quantidade de marmitas já adquiridas seria suficiente para quantos dias?
Solução: As duas grandezas envolvidas no problema são quantidade de empregados e dias de duração das marmitas.
Se forem contratados mais 500 empregados, o total de empregados passará a ser 1250. Assim, podemos montar a tabela de dados a seguir.
Quanto menos dias durarem as marmitas, maior terá sido a quantidade de empregados contratados, o que implica que essas grandezas são inversamente proporcionais.
Montando a equação de proporcionalidade, segue que:
[tex]\qquad \dfrac{25}{x} = \dfrac{1250}{750}\\
\qquad 125x = 25\times 75\\
\qquad \boxed{x=15}.\\
[/tex] Logo, as marmitas serão suficientes para 15 dias.
Problema 7: (Mackenzie SP) As [tex]x[/tex] pessoas de um grupo deveriam contribuir com quantias iguais a fim de arrecadar R$ 15 000,00, entretanto 10 delas deixariam de fazê-lo, ocasionando, para as demais, um acréscimo de R$ 50,00 nas respectivas contribuições.
Nessas condições, determine o valor de [tex]x[/tex].
Solução: As duas grandezas envolvidas no problema são quantidade de pessoas que irão contribuir e valor da contribuição por pessoa.
Se as [tex]x[/tex] pessoas fossem contribuir, cada uma delas daria o valor de R$ [tex]15000/x[/tex]. Assim, sendo [tex]y[/tex] o novo valor que cada uma das [tex]x-10[/tex] pessoas irá contribuir, temos:
Se o valor da contribuição por pessoa aumenta, então é porque a quantidade de contribuidores terá diminuído, o que implica que essas grandezas são inversamente proporcionais.
Montando a equação de proporcionalidade, segue que:
Como não pode existir uma quantidade negativa de pessoas, concluímos que [tex]x=60.[/tex]
Problema 8: Para viajar de uma cidade para a outra, com uma velocidade média de 60 km/h, leva-se 2 horas e 30 minutos.
Quanto tempo seria gasto para fazer esse mesmo percurso caso a velocidade fosse de 75 km/h?
Solução: As duas grandezas envolvidas no problema são tempo e velocidade.
Se o tempo do trajeto for maior, então a velocidade média do trajeto terá sido menor, o que implica que essas grandezas são inversamente proporcionais.
Montando a equação de proporcionalidade, segue que:
[tex]\qquad \dfrac{x}{2,5} = \dfrac{60}{75}\\
\qquad 75x = 60\times 2,5\\
\qquad \boxed{x = 2}.\\
[/tex] Logo, o tempo necessário é de 2 horas.
Problema 9: Para realizar uma reforma em larga escala em um condomínio fechado, contratou-se uma empreiteira que planejou essa reforma de acordo com a quantidade de funcionários disponíveis na empresa. Na primeira proposta, seriam necessários 15 funcionários para realizar a reforma em 10 dias; porém, durante a reunião de condomínio, decidiram que o prazo deveria ser de no máximo 6 dias para a conclusão da obra.
Buscando atender à solicitação do condomínio, quantos funcionários a mais devem ser contratados?
Solução: As duas grandezas envolvidas no problema são quantidade de dias e quantidade de funcionários.
Quanto maior a quantidade de funcionários, mais rápido o serviço vai ser realizado, ou seja, menor será a quantidade de dias. Assim, as grandezas são inversamente proporcionais.
Montando a equação de proporcionalidade, segue que:
[tex]\qquad \dfrac{x}{15} = \dfrac{10}{6}\\
\qquad 6x =150\\
\qquad \boxed{x = 25}.\\
[/tex] Logo, devem ser contratados 10 funcionários a mais.
Problema 10: (UFPE) Dez guindastes carregam 180 caixas em um navio em 12 dias com 5 horas de trabalho diário. Quantas caixas serão carregadas em 15 dias, por 12 guindastes, trabalhando 4 horas por dia?
Solução: Existem quatro grandezas envolvidas neste problema: número de guindastes, quantidade de caixas, número de dias e horas de trabalho diário.
Os dados apresentados podem ser agrupados como na tabela a seguir.
Analisemos agora o tipo de proporcionalidade entre a grandeza quantidade de caixas com cada uma das outras grandezas.
Supondo que o número de dias e horas de trabalho diário sejam constantes, o aumento na quantidade de caixas carregadas deveria acarretar no aumento do número de guindastes. Assim, essas duas grandezas são diretamente proporcionais (as setas devem ter mesmo sentido).
Supondo que o número de guindastes e o número de horas de trabalho diário sejam constantes, o aumento na quantidade de caixas carregadas deveria acarretar no aumento do número de dias necessários. Portanto, essas duas grandezas também são diretamente proporcionais (as setas devem ter mesmo sentido).
Por fim, se fossem constantes o número de guindastes e de dias, o aumento da quantidade de caixas carregadas acarretaria no aumento de horas trabalhadas diariamente. Portanto, essas duas grandezas também são diretamente proporcionais (as setas devem ter mesmo sentido).
Montando a equação, segue que:
[tex]\qquad \dfrac{x}{180} = \dfrac{12}{10}\cdot \dfrac{15}{12}\cdot \dfrac{4}{5}\\
\qquad \dfrac{x}{180} = \dfrac{60}{50}\\
\qquad 5x = 1080\\
\qquad \boxed{x = 216}.\\
[/tex] Logo, a quantidade de caixas carregadas na ocasião do problema é 216.
Problema 11: (Vunesp 2014) Dez funcionários de uma repartição trabalham 8 horas por dia, durante 27 dias, para atender certo número de pessoas. Se um funcionário doente foi afastado por tempo indeterminado e outro se aposentou, determine o total de dias que os funcionários restantes levarão para atender o mesmo número de pessoas, trabalhando uma hora a mais por dia, no mesmo ritmo de trabalho.
Solução: Existem três grandezas envolvidas neste problema: número de funcionários, horas de trabalho por dia e número de dias.
Os dados apresentados podem ser agrupados como na tabela a seguir.
Analisemos agora o tipo de proporcionalidade entre a grandeza número de dias com cada uma das outras grandezas.
Supondo que o número de horas de trabalho diária seja constante, a fim de atender a mesma quantidade de pessoas, o aumento no número de dias acarretaria na diminuição do número de funcionários. Assim, essas duas grandezas são inversamente proporcionais (as setas devem ter sentidos contrários).
Supondo que o número de funcionários seja constante, a fim de atender a mesma quantidade de pessoas, o aumento no número de dias acarretaria na diminuição do número de horas diárias. Assim, essas duas grandezas também são inversamente proporcionais (as setas devem ter sentidos contrários).
Portanto, temos
Montando a equação, segue que:
[tex]\qquad \dfrac{x}{27} = \dfrac{10}{8}\cdot \dfrac{8}{9}\\
\qquad\dfrac{x}{27} = \dfrac{10}{9}\\
\qquad 9x = 270\\
\qquad \boxed{x = 30}.\\
[/tex] Logo, são necessários 30 dias de trabalho.
Problema 12: A criação de animais exige muitos cuidados, e um deles é a alimentação desses animais. Em uma fazenda especializada na criação de rebanhos de ovelhas, para alimentar 120 ovelhas, durante 12 dias, utiliza-se 792 kg de ração. Durante quanto tempo será possível alimentar um rebanho composto por 276 ovelhas com 759 kg de ração?
Solução: Existem três grandezas envolvidas neste problema: quantidade de ovelhas, número de dias e quantidade de ração.
Os dados apresentados podem ser agrupados como na tabela abaixo.
Analisemos agora o tipo de proporcionalidade entre a grandeza número de dias com cada uma das outras grandezas.
Supondo que a quantidade de ração seja constante, o aumento no número de dias acarretaria na diminuição do número de ovelhas. Assim, essas duas grandezas são inversamente proporcionais (as setas devem ter sentidos contrários).
Supondo que o número de ovelhas seja constante, o aumento no número de dias acarretaria no aumento da quantidade de ração. Assim, essas duas grandezas são diretamente proporcionais (as setas devem ter mesmo sentido).
Problema 13: Para esvaziar um reservatório com 60 000 litros, 4 ralos levam 10 horas. Qual é o tempo gasto para que 7 ralos idênticos esvaziem um tanque com 120 000 litros?
Solução: Existem três grandezas envolvidas neste problema: capacidade do reservatório (em litros), quantidade de ralos e tempo (em horas).
Os dados apresentados podem ser agrupados como na tabela abaixo.
Analisemos agora o tipo de proporcionalidade entre a grandeza tempo com cada uma das outras grandezas.
Supondo que a quantidade de ralos seja constante, o aumento do tempo acarretaria no aumento da capacidade do reservatório. Assim, essas duas grandezas são diretamente proporcionais (as setas devem ter mesmo sentido).
Supondo que a capacidade seja constante, o aumento no número de horas acarretaria na diminuição do número de ralos. Assim, essas duas grandezas são inversamente proporcionais (as setas devem ter sentidos contrários).
Portanto, temos
Montando a equação, obtemos:
[tex]\qquad \dfrac{x}{10} = \dfrac{120~000}{60~000}\cdot \dfrac{4}{7}\\
\qquad \dfrac{x}{10} = \dfrac{8}{7}\\
\qquad 7x = 80\\
\qquad \boxed{x \approx 11,43}.\\
[/tex]
Logo, o tempo gasto será de aproximadamente 11,43 horas. Veja que 0,43 horas correspondem a [tex]0,43\times 60 = 25,8[/tex] minutos, e 0,8 minutos correspondem a [tex]0,8\times60 = 48[/tex] segundos. Assim, o tempo gasto será de aproximadamente 11 horas 25 minutos e 48 segundos.
Problema 14: (ENEM 2009 – 1ª Aplicação) Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha. Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de:
(a) 920 kg.
(b) 800 kg.
(c) 720 kg.
(d) 600 kg.
(e) 570 kg.
Solução: Este problema pode ser resolvido com uma regra de três composta, a partir de quatro grandezas.
Observe que a grandeza quantidade de alimentos arrecadados é diretamente proporcional às demais.
Assim, segue que:
[tex]\qquad \dfrac{120}{x} = \dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{20}{50}\cdot \dfrac{10}{20}\\
\qquad \dfrac{120}{x} = \dfrac{600}{4000}\\
\qquad 600x = 480000\\
\qquad x =800.\\[/tex]
Logo, nos últimos dez dias foram arrecadados 800 kg de alimentos.
Dessa forma, durante os 20 dias de campanha foram arrecadados (120+800)=920 kg de alimentos A resposta correta é, portanto, o item (a).
Problema 15: (ENEM 2009 – 1ª Aplicação) A suspeita de que haveria uma relação causal entre tabagismo e câncer de
pulmão foi levantada pela primeira vez a partir de observações clínicas. Para testar essa possível
associação, foram conduzidos inúmeros estudos epidemiológicos. Dentre esses, houve o estudo
do número de casos de câncer em relação ao número de cigarros consumidos por dia, cujos
resultados são mostrados no gráfico a seguir.
De acordo com as informações do gráfico,
a) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas inversamente proporcionais.
b) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que não se relacionam.
c) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas diretamente proporcionais.
d) uma pessoa não fumante certamente nunca será diagnosticada com câncer de pulmão.
e) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que estão relacionadas, mas sem proporcionalidade.
Para assistir, é só clicar na setinha.
Precisam de mais problemas?
Temos mais alguns no nosso Blog, é só clicar em cada título
