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Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Fácil)
(XVIII OPM, 1999 – Adaptado) A área do círculo da figura abaixo mede [tex]40 \, cm^2.[/tex]
Se as medidas dos ângulos [tex]A\hat{O}B[/tex] e [tex]C\hat{O}D[/tex] são respectivamente [tex]60^\circ [/tex] e [tex]30^\circ[/tex], determine a medida da área colorida do círculo.
Solução 1
Podemos resolver este problema estabelecendo proporções entre “a área total do círculo” (o todo) e “cada região colorida” (as partes). O parâmetro que utilizaremos é a medida dos ângulos que definem as três regiões. As partes são definidas por ângulos de [tex]30^\circ [/tex] e [tex]60^\circ[/tex], de acordo com os dados do problema, e o todo é definido por um ângulo de [tex]360^\circ [/tex], uma volta completa.
Com base nessa proporção, determinaremos as medidas das respectivas áreas das duas regiões coloridas do círculo resolvendo duas regrinhas de três simples.
Área verde: [tex]\textcolor{#329865}{A_{v}}[/tex]
[tex]\begin{array}{c c c} Dessa forma, obtemos que |
Área lilás: [tex]\textcolor{#9A67C3}{A_l}[/tex]
[tex]\begin{array}{c c c} Dessa forma, obtemos que |
Portanto, a medida da área [tex]S[/tex] da região colorida do círculo pode ser assim calculada:
[tex] \qquad \qquad S=\textcolor{#329865}{A_{v}} + \textcolor{#9A67C3}{A_l}=\dfrac{10}{3}+\dfrac{20}{3}=\dfrac{30}{3}= \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$10 \, cm^2$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Podemos rotacionar as duas regiões coloridas em torno do centro [tex]O[/tex] do círculo, sem sobrepô-las, de modo a obter uma região que corresponde a um quarto do círculo, já que teríamos um setor circular de [tex]90^\circ.[/tex]
Assim, a medida da área [tex]S[/tex] da região colorida é dada por:
[tex] \qquad \qquad S=\dfrac{40}{4}= \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$10 \, cm^2$} \, .[/tex]
Um applet para ajudar
Instruções:
(1) Espere o aplicativo carregar completamente.
(2) Para fazer a rotação da região colorida de verde, clique no ponto C, mantenha o mouse pressionado e faça o movimento.
(3) Para fazer a rotação da região colorida de lilás, clique no ponto A, mantenha o mouse pressionado e faça o movimento.
(4) Para retornar à posição inicial, clique no centro das setinhas circulares que aparecem no canto superior direito do aplicativo.
OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Se for conveniente, você pode obter um arquivo PDF desta página, com o problema e a solução, clicando no botão abaixo. |