Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
(CFTMG – 2017) Para executar uma reforma em uma loja, foram contratados [tex]n[/tex] operários.
O mestre de obras argumentou que
– “para entregar a obra [tex]2[/tex] dias antes do prazo previsto, seria necessário contratar mais [tex]3[/tex] operários; se, entretanto, [tex]2[/tex] operários fossem dispensados, a obra atrasaria em [tex]2[/tex] dias”.
Considerando que os operários trabalhem da mesma forma e no mesmo ritmo, qual o número [tex]n[/tex] de operários contratados?
Solução 1
Perceba que as grandezas "número de operários" e "número de dias " são grandezas inversamente proporcionais, ou seja, se o número de operários aumentar (diminuir) o número de dias para a execução da obra diminuirá (aumentará), na mesma razão. Assim, o produto entre os valores das mesmas é constante.
- Dessa forma, se [tex]n[/tex] operários trabalham em [tex]d[/tex] dias, então [tex]n \cdot d=k[/tex], sendo [tex]k[/tex] a constante de proporcionalidade.
- De forma análoga, se [tex]n+3[/tex] operários trabalham em [tex]d-2[/tex] dias, então [tex](n+3) \cdot (d-2)=k[/tex], e se [tex]n-2[/tex] operários trabalham em [tex]d+2[/tex] dias, então [tex](n-2) \cdot (d+2)=k[/tex], onde [tex]k[/tex] é constante.
Logo, podemos escrever:
[tex]\begin{cases}
n \cdot d=(n+3) \cdot (d-2) \qquad \textcolor{#800000}{(I)} \\
n \cdot d=(n-2) \cdot (d+2) \qquad \textcolor{#800000}{(II)} \\
\end{cases}[/tex]
De [tex]\textcolor{#800000}{(I)}[/tex], obtemos que:
[tex]n \cdot d=(n+3) \cdot (d-2)[/tex]
[tex]nd=nd-2n+3d-6[/tex]
[tex]-2n+3d=6 \qquad \textcolor{#800000}{(III)}[/tex]
De [tex]\textcolor{#800000}{(II)}[/tex], obtemos que:
[tex]n \cdot d=(n-2) \cdot (d+2)[/tex]
[tex]nd=nd+2n-2d-4[/tex]
[tex]2n-2d=4 \qquad \textcolor{#800000}{(IV)} [/tex]
Somando as igualdades [tex]\textcolor{#800000}{(III)} \, [/tex] e [tex] \, \textcolor{#800000}{(IV)}[/tex], obtemos [tex]d=10.[/tex] Substituindo esse valor em [tex]\textcolor{#800000}{(IV)}[/tex], encontramos [tex]2n-2 \cdot 10=4 [/tex], donde concluímos que [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ n=12$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Este é um típico problema que envolve grandezas ditas inversamente proporcionais, já que o aumento (a diminuição) de uma implica a diminuição (o aumento) da outra, na mesma proporção/razão: aumentando (diminuindo) a quantidade de operários, diminuirá (aumentará) o número de dias para que a obra seja concluída, na mesma proporção.
De outra forma, com mais operários trabalhando a obra ficará pronta em menos tempo e com menos operários trabalhando a obra levará mais tempo para ser concluída:
- se, por exemplo, for dobrada a quantidade de operários, o tempo de conclusão da obra será reduzido pela metade; se for triplicada a quantidade de operários, o tempo de conclusão da obra será reduzido para um terço;
- para a obra ser concluída na metade do tempo previsto, o número de operários deverá ser dobrado; para a obra ser concluída em um quarto do tempo previsto, o número de operários deverá ser quadruplicado.
Se denotarmos por [tex]d[/tex] a quantidade de dias em que [tex]n[/tex] operários concluirão a obra, podemos representar os dados do problema em duas tabelas e obter equações que ajudarão na resolução do problema, utilizando duas regras de três simples. Vejamos como:
Como essas duas grandezas são inversamente proporcionais, a regra de três simples
garante que |
Como essas duas grandezas são inversamente proporcionais, a regra de três simples
garante que |
Agora, somando as equações [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], segue que:
[tex]\qquad + [/tex] [tex]\begin{array}{l}
3d-\cancel{2n}=6\\
\cancel{2n}-2d=4\\
\hline
d=10.\end{array}[/tex]
Utilizando esse valor e a equação [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], obtemos que:
[tex]\qquad 2n-2d=4[/tex]
[tex]\qquad n-d=2[/tex]
[tex]\qquad n=2+d[/tex]
[tex]\qquad n=2+10[/tex]
[tex]\qquad n=12.[/tex]
Dessa forma, concluímos que o número [tex]n[/tex] de operários contratados foi [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ n=12$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.