Sala de Estudo: Permutações Circulares e os Números de Stirling do primeiro tipo

• Vamos começar sentando os oito casais na roda gigante, o que pode ser feito de [tex](8-1)!=7!=5040[/tex] formas.
• Como em cada banco há dois assentos, então cada casal pode se sentar de duas maneiras distintas.

Logo, o total de maneiras com que oito casais podem sentar-se nessa roda gigante é dado por [tex]\,\fcolorbox{#6C6C6C}{#d3dce8}{$7!\cdot 2^{8}$}\,[/tex].

• Para colorir a pirâmide escolheremos primeiro uma cor para a base, o que podemos fazer de [tex]6[/tex] maneiras.
• Sobraram, então, [tex]5[/tex] cores para colorir as faces laterais; assim, o total de maneiras de colorirmos as faces é uma permutação circular de [tex]5[/tex], isto é, [tex](5-1)!=4!=24[/tex].

Dessa forma, segue do Princípio Multiplicativo que há [tex]\,\fcolorbox{#6C6C6C}{#d3dce8}{$6 \cdot 24= 144$}\,[/tex] formas de colorir a pirâmide com seis cores distintas.

• Observe que o total de permutações circulares de [tex]7[/tex] pessoas é [tex](7-1)!=6!=720[/tex].
• Agora vamos contar o número de permutações circulares de [tex]A,B,C,D,E, F[/tex] e [tex]G[/tex] nas quais [tex]A [/tex] e [tex]B[/tex] estão sempre lado a lado. Considerando as pessoas [tex]A [/tex] e [tex]B[/tex] como uma única pessoa temos [tex]6[/tex] que podem sentar-se em torno da mesa circular de [tex](6-1)!=5!=120[/tex] maneiras. Como [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] podem estar lado a lado de [tex]2[/tex] maneiras, então concluímos que há [tex] 2 \cdot 5!=240[/tex] maneiras de [tex]7[/tex] pessoas sentarem-se em uma mesa circular com as pessoas [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] sentadas lado a lado.

Portanto, a resposta para o problema proposto é [tex]\,\fcolorbox{#6C6C6C}{#d3dce8}{$720-240=480$}\,.[/tex]

• Como as meninas devem ficar juntas vamos considerá-las como uma pessoa só. Dessa forma faremos a permutação circular de [tex]9[/tex] pessoas que é [tex](9-1)!=8!=40320[/tex].
• Como as meninas podem trocar de posição entre si, podemos fazer essa troca de [tex]8! = 40320[/tex] maneiras.

Portanto, a resposta para a questão é [tex]\,\fcolorbox{#6C6C6C}{#d3dce8}{$8! \cdot 8!=1625702400$}\,[/tex], segundo o Princípio Multiplicativo.

• Vamos iniciar a distribuição com [tex]8 [/tex] meninas que é uma permutação circular de [tex] 8[/tex]: [tex](8-1)!=7!=5040.[/tex]
• Como crianças do mesmo sexo não devem ficar juntas, então colocaremos um menino entre cada duas meninas. E podemos fazer isso de [tex]8![/tex] maneiras.

Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, a resposta para essa questão é [tex]\,\fcolorbox{#6C6C6C}{#d3dce8}{$7! \cdot 8!=203212800$}\,.[/tex]

• Primeiramente, permutaremos circularmente as [tex]6[/tex] pessoas deixando Paulo e Marta de fora, o que podemos fazer de [tex](6-1)!=5!=120[/tex] maneiras distintas.
• Em seguida, vamos assentar Paulo e Marta. Observe que temos [tex]6[/tex] opções de lugares para Paulo se sentar, ficando pré-determinado o lugar para Marta: devem ficar [tex]3[/tex] cadeiras entre Paulo e Marta.

Logo, o Princípio Multiplicativo garante que a resposta para este problema são [tex]\,\fcolorbox{#6C6C6C}{#d3dce8}{$6 \cdot 5!=6 \cdot 120=720$}\,[/tex] maneiras diferentes.

• Podemos escolher uma das [tex]7[/tex] cores para colorir a face superior, sobrando [tex]6[/tex] cores para colorir a face inferior. Dessa forma, segue do Princípio Multiplicativo que há [tex]7 \cdot 6=42[/tex] formas de colorir as bases inferior e superior da pirâmide.
• Sobram [tex]5[/tex] cores distintas para colorir as faces laterais; assim, o total de maneiras para colorir tais faces é uma permutação circular de [tex]5[/tex] elementos, ou seja, [tex](5-1)!=4!=24[/tex].

Portanto, o Princípio Multiplicativo garante que podemos colorir as faces do prisma pentagonal de [tex]\,\fcolorbox{#6C6C6C}{#d3dce8}{$42 \cdot 24= 1008$}\,[/tex] maneiras distintas.

• Como as bases são iguais, a ordem que escolhemos as duas cores para pintá-las é irrelevante. Dessa forma temos um total de [tex]{\left( \begin{array}{c} 7\\2 \end{array} \right)} = \dfrac{7!}{5!2!} =\dfrac{7\cdot 6}{2} = \dfrac{7 \cdot 6}{2}=21[/tex] maneiras de colorir as bases do prisma.
• Sobram [tex]5[/tex] cores distintas para colorir as faces laterais, e o total de maneiras de colorir essas faces é uma permutação circular de [tex]5[/tex], isto é, [tex](5-1)!=4!=24[/tex].

Portanto, Pelo Princípio Multiplicativo, podemos colorir o prisma pentagonal de [tex]\,\fcolorbox{#6C6C6C}{#d3dce8}{$21 \cdot 24= 504$}\,[/tex] modos distintos.

(b) Fazendo [tex]n=4[/tex] e [tex]k=2[/tex], segue da Propriedade 6 que:
[tex] \qquad {\left[ \begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array} \right]} = {\left[ \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right]} + (4-1) {\left[ \begin{array}{c} 3\\ 2 \end{array} \right]} = [/tex] [tex] {\left[ \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right]} + 3 {\left[ \begin{array}{c} 3\\ 2 \end{array} \right]} [/tex].

• Segue da Propriedade 4 que
  [tex] \quad {\left[ \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right]} = PC_{3}=(3-1)!=2 [/tex]
• e de (a) segue que
  [tex]\quad {\left[ \begin{array}{c} 3\\ 2 \end{array} \right]}=3 [/tex].

Dessa forma, [tex] {\left[ \begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array} \right]} = 2+ 3 \cdot 3= \fcolorbox{#6C6C6C}{#d3dce8}{$11$}\,[/tex].

(c) Segue da Propriedade 5 que:
[tex]\qquad {\left[ \begin{array}{c} 4\\ 3 \end{array} \right] }= {\left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array} \right)} = \dfrac{4!}{2!\cdot 2!}=\dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2} = \fcolorbox{#6C6C6C}{#d3dce8}{$6$}\, [/tex].

• Mas, segue da Propriedade 1 que
  [tex] \qquad {\left[ \begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array} \right]} = PC_{4}=(4-1)!=3!=6 [/tex]
• e, da Atividade 12 que
  [tex]\qquad {\left[ \begin{array}{c} 4\\ 2 \end{array} \right]}= 11 [/tex].

Dessa forma, [tex] {\left[ \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right]} = 6 + 4 \cdot 11= 6+ 44=\fcolorbox{#6C6C6C}{#d3dce8}{$50$}\, [/tex].

(b) Fazendo [tex]n=5[/tex] e [tex]k=3[/tex], segue da Propriedade 4 que:
[tex] \qquad {\left[ \begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array} \right]} = {\left[ \begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array} \right]} + (5-1) {\left[ \begin{array}{c} 4\\ 3 \end{array} \right]} = [/tex] [tex] {\left[ \begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array} \right]} + 4 {\left[ \begin{array}{c} 4\\ 3 \end{array} \right]} [/tex].
Segue da Atividade 12, que [tex] {\left[ \begin{array}{c} 4 \\2 \end{array} \right]} = 11 [/tex] e [tex] {\left[ \begin{array}{c} 4\\ 3 \end{array} \right]}= 6. [/tex]
Dessa forma, [tex] {\left[ \begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array} \right]} = 11+ 4 \cdot 6= 11 +24=\fcolorbox{#6C6C6C}{#d3dce8}{$35$}\, [/tex].

(c) Segue da Propriedade 5 que:
[tex] \qquad {\left[ \begin{array}{c} 5\\ 4 \end{array} \right] }= {\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)} = \dfrac{5!}{3!\cdot 2!}=\dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2} = \fcolorbox{#6C6C6C}{#d3dce8}{$10$}\, [/tex].

• [tex](p_1p_2)(p_3) [/tex]: [tex]p_1[/tex] e [tex]p_2[/tex] sentam-se juntas e [tex]p_3[/tex] senta-se sozinha.
• [tex](p_1p_3)(p_2)[/tex]: [tex]p_1[/tex] e [tex]p_3[/tex] sentam-se juntas e [tex]p_2[/tex] senta-se sozinha.
• [tex](p_2p_3)(p_{1})[/tex]: [tex]p_2[/tex] e [tex]p_3[/tex] sentam-se juntas e [tex]p_1[/tex] senta-se sozinha.

[tex] \qquad {\left[ \begin{array}{c} 6 \\ 3 \end{array} \right]} = {\left[ \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right]} + (6-1){\left[ \begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array} \right]} = {\left[ \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right]} + 5 {\left[ \begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array} \right]} [/tex],
mas segue da Atividade 13 que [tex]{\left[ \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right]} =50 \,[/tex] e [tex]\,{\left[ \begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array} \right]} =35[/tex]. Dessa forma,
[tex] \qquad {\left[ \begin{array}{c} 6 \\ 3 \end{array} \right]} = 50 + 5 \cdot 35 = 50 +175=\fcolorbox{#6C6C6C}{#d3dce8}{$225$}\, [/tex].

• um objeto em uma caixa e três na outra;
• dois objetos em cada caixa.

Vamos fazer as distribuições:

• Um objeto em uma caixa e três na outra:
  [tex]\qquad \boxed{\,\;\;\;\;\; A \;\;\;\;\;\,}\qquad \boxed{\;B,C,D\;}[/tex]
  [tex]\qquad \boxed{\,\;\;\;\;\; B \;\;\;\;\;\,}\qquad \boxed{\;A,C,D\;}[/tex]
  [tex]\qquad \boxed{\,\;\;\;\;\; C \;\;\;\;\;\,}\qquad \boxed{\;A,B,D\;}[/tex]
  [tex]\qquad \boxed{\,\;\;\;\;\; D \;\;\;\;\;\,}\qquad \boxed{\;A,B,C\;}[/tex]

• Dois objetos em cada caixa:
  [tex]\qquad \boxed{\,\;\;\;A,B\;\;\,\;}\qquad \boxed{\,\;\;\;C,D\,\;\;\;}[/tex]
  [tex]\qquad \boxed{\,\;\;\;A,C\,\;\;\;}\qquad \boxed{\,\;\;\;B,D\,\;\;\;}[/tex]
  [tex]\qquad \boxed{\,\;\;\;A,D\,\,\;\;}\qquad \boxed{\,\;\;\;B,C\,\;\;\;\,}[/tex]

Temos, então, [tex]7[/tex] modos de fazermos a distribuição.
Observe que na Questão 1 distribuímos as quatro pessoas em duas mesas circulares, de forma que não ficassem mesas vazias, de [tex]11[/tex] modos distintos.