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Fatorial e Permutação Simples



De quantas maneiras os cinco membros de um Clube Olímpico de Matemática podem se organizar em uma sala de computação com cinco computadores?

Fatorial


Perguntas como a apresentada acima podem ser encontradas com muita frequência no nosso cotidiano; e, em geral, pelo Princípio Fundamental da Contagem (PFC), também chamado de Princípio Multiplicativo, a resposta a esse tipo de problema é imediata.

No caso do problema formulado, há 5 possibilidades para escolhermos a pessoa que utilizará o primeiro computador. Escolhida tal pessoa, há 4 possibilidades para aquela que ocupará o segundo computador.
Seguindo esse raciocínio, é muito simples perceber que, utilizando o PFC, a resposta ao problema será:
5 ⋅ 4 ⋅ 3⋅ 2 ⋅ 1 = 120.

Imagine, porém, que o problema inicial se referisse a 100 funcionários do Call Center de uma importante empresa que fossem fazer um treinamento em uma gigantesca sala de computação, com 100 computadores. Será que, para registrarmos a solução, precisaríamos escrever o correspondente produto com cem fatores???
Com certeza não precisaríamos escrever todos os cem fatores e nem mesmo expressões com uso de reticências, como, por exemplo, 100 ⋅ 99 ⋅ 98 ⋅ . . . ⋅ 2 ⋅ 1. Explicitar produtos como esse toda vez que eles aparecerem é algo desnecessário, já que o matemático francês Christian Kramp (Conheça um pouco do trabalho desse matemático aqui.) decidiu adotar uma notação muito simples para produtos desse tipo:  ele decidiu representar o fatorial do número [tex]n[/tex] por [tex]n![/tex](leia n fatorial).
– Elegante, não é?
Porém, esta notação não foi a única utilizada para representar o fatorial de um número natural. Para conhecer um pouco dessa história, clique no botão abaixo.

  • Dizem os historiadores que o primeiro uso de uma multiplicação de longas sequências de números sucessivos para um problema específico pode ter surgido com Euler, em resoluções de problemas sobre jogos. Em um artigo intitulado Calcul de la probabilité dans le jeu de rencontre (Cálculo da probabilidade no jogo da coincidência), publicado em 1753, Euler escreveu:

euler

A primeira parte deste trecho pode ser traduzida como: Este número de casos 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ … ⋅ m   está sendo colocado como =M   por abreviação.
Em 1772, o matemático francês Alexandre-Theóphile Vandermonde utilizou a notação [p]n para representar o produto dos fatores de p ⋅ (p – 1) ⋅ (p – 2)⋅ … ⋅ (p – n + 1).
Com essa notação, [tex] [p]^p[/tex] representaria o que hoje escrevemos como p!. A notação de Vandermonde incluía um método para pular números, de modo que [p/3]n , por exemplo, indicaria p ⋅ (p – 3) ⋅(p – 6) ⋅… ⋅ (p – 3 (n – 1)).
Alguns anos mais tarde, um educador alemão chamado Johan Bernhard Basedow passou a usar uma estrela ou asterisco para indicar o fatorial: n*. No início do século XIX, alguns matemáticos utilizavam a notação Π(n) para a mesma finalidade.
Ao que tudo indica, Kramp foi o primeiro a utilizar a notação [tex]n![/tex], em 1808, mas o nome fatorial foi dado pelo matemático Louis Arbogast. A notação de Kramp e a nomenclatura de Arbogast resistiram ao tempo e são as utilizadas nos dias de hoje; no entanto a utilização do símbolo de Kramp não foi sempre uma unanimidade. As imagens abaixo mostram que um outro símbolo de fatorial foi utilizado até um passado recente: |n. Esta outra notação foi criada, em 1827, pelo Rev. Thomas Jarrett.

 copy of the 1830 paper on Google Books

Cópia de um texto de 1830

 1889 textbook, A College Algebra by J.M. Taylor

Cópia de um texto de 1889, A College Algebra, escrito por J.M. Taylor

Esta imagem é de uma observação escrita uma página de um texto sobre Combinatória, escrito em 1922, por Walter Burton Ford, da Universidade de Michigan.

Observação encontrada em uma página de um texto sobre Combinatória, escrito em 1922, por Walter Burton Ford, da Universidade de Michigan.

 Parte de um artigo de C. V. Newsome e John F. Randolph, escrito em 1946.

Parte de um artigo de C. V. Newsome e John F. Randolph, escrito em 1946.


Segundo contam, a resistência ao uso do ponto de exclamação para indicar o fatorial teve um representante de peso: o matemático, lógico e professor indiano Augustus de Morgan (1806-1871), radicado na Inglaterra. De Morgan teria classificado como “barbárie” a utilização de símbolos da linguagem comum na matemática!
Augustus de Morgan

Augustus de Morgan

  • Finalizando este pequeno comentário histórico, repetimos o que foi escrito em nossa Sala de História:
    “A História sempre foi um valioso instrumento para o aprendizado da Matemática. Conhecendo o passado, é possível entender que cada tópico de Matemática que hoje nos é apresentado bem organizado e acabado resultou de grandes esforços das mentes privilegiadas de matemáticos que viveram em diferentes épocas.”.

Pois agora que já viajamos um pouco pela história do fatorial, vamos conferir alguns exemplos? Observe:
      4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24;
      10! = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 3628800
      n! = n ⋅ (n – 1) ⋅ (n – 2) ⋅ … ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1.

De uma maneira mais formal, o fatorial de um número natural [tex]n[/tex] é o número denotado por [tex]n![/tex] e definido da seguinte forma:

  • [tex]n!=1[/tex], se [tex]n=0[/tex];
  • [tex]n!=n \cdot (n-1)![/tex], se [tex]n\gt 0[/tex].

A atenção e o cuidado na hora de trabalhar com fatoriais é muito importante. A soma a! + b! ou o produto a! ⋅ b! , por exemplo, não são equivalentes a (a + b)! ou a (ab)! (tente entender o porquê!).
Uma interessante propriedade dos fatoriais é a de que, se [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] forem números naturais, com [tex]a\gt b[/tex], então
[tex] \qquad\qquad \dfrac{a!}{b!} = a(a-1)(a-2)\cdot~\cdots~\cdot(b+1)[/tex]
ou, de forma equivalente,
[tex]\qquad\qquad a!=a(a-1)(a-2)\cdot~\cdots~\cdot(b+1)\cdot b! [/tex].

Que tal tentar provar essas igualdades?
Elas facilitam bastante cálculos que envolvam fatoriais. De acordo com elas, nós temos, por exemplo, [tex]\dfrac{10!}{9!} = 10[/tex] e [tex]\dfrac{50!}{47!} = 50\cdot 49\cdot 48 = 117600[/tex]. Por que isso ocorre?








Permutação Simples


Agora que já estamos mais familiarizados com fatoriais, é hora de introduzir o conceito de permutação simples. Lembra-se do tipo de problema citado no início do texto? Pois é, problemas assim são conhecidos como problemas de permutação simples. Em problemas de combinatória, costuma-se indicar por permutações simples as maneiras de se organizar n objetos distintos (pessoas, malas, livros, etc.) em uma fila. O número total desse tipo de organização para n objetos distintos é denotado, geralmente, por Pn.
Podemos utilizar o PFC e resolver o problema geral de uma permutação simples com n objetos distintos: calcular a quantidade de maneiras de dispormos n diferentes objetos em fila. Para tanto, vamos realizar um raciocínio semelhante ao realizado no início do texto: calcular o número de maneiras que podemos escolher o objeto que ocupará o primeiro lugar da fila, depois o segundo lugar, depois o terceiro, até esgotar as [tex]n[/tex] posições da fila.

n escolhas   (n-1) escolhas     2 escolhas   1 escolha
1º lugar da fila   2º lugar da fila       (n-1)º lugar da fila   nº lugar da fila

A resposta será [tex]n![/tex] , não será?

Portanto, o número de permutações simples de [tex]n[/tex] objetos em fila fica definido pela igualdade [tex] P_n=n![/tex].

Útil e fácil!
Formalmente:

Permutações simples são definidas como maneiras de organizarmos [tex]n[/tex] objetos distintos em uma fila. O número total de permutações simples é denotado por [tex]P_n[/tex] e é verificada a igualdade [tex]P_n=n![/tex]

Pequenas atividades:
1. Quantos algarismos você acha que o número 14! possui?
2. Em quantas ordens diferentes você pode pedir o autógrafo dos 11 jogadores titulares de um time de futebol?
A maquineta disponibilizada abaixo poderá ajudar nos cálculos da segunda atividade e também na hora de conferir o palpite da primeira. Além disso, você poderá utilizá-la para calcular o fatorial de qualquer número natural menor que 21.

É importante lembrar de que o conceito de permutação simples é constantemente ligado ao de fatorial, mas a recíproca nem sempre é verdadeira! Há outras áreas da matemática que utilizam o fatorial; não somente a Contagem e a Combinatória.



Utilize esta Maquineta para calcular facilmente os fatoriais de
números naturais menores do que 21.

MAQUINETA

A maquineta funciona adequadamente no Excel.



Esperamos que você tire proveito da explanação feita aqui.
Nosso objetivo é tentar sempre facilitar o seu entendimento sobre assuntos importantes da matemática.
E que tal agora tentar resolver alguns problemas?
É só clicar AQUI .



Equipe COM – OBMEP



Referências, acessadas em 04/08/18:
http://www.pballew.net/arithme2.html;
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Kramp.html.

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