.Sala para leitura_010: Um pouco sobre poliedros

Um pouco sobre poliedros


Apresentaremos aqui algumas definições e propriedades básicas de poliedros para que vocês possam executar com mais segurança algumas atividades do nosso Blog.
Bom Proveito, pessoal!

 

O que são poliedros?


Nesta nossa breve discussão, vamos adotar uma definição de poliedro que, embora não seja muito geral, atende perfeitamente às nossas finalidades. Adotando essa definição, podemos escrever com rigor a ideia intuitiva de que poliedro é um objeto geométrico de três dimensões, formado por polígonos.

Poliedro é a reunião de um número finito de polígonos planos, denominados faces, de modo que:

(a) Cada lado de um desses polígonos é também lado de um, e apenas um outro polígono.
(Os lados dos polígonos que compõem o poliedro são denominados as arestas do poliedro)
(b) A interseção de duas faces quaisquer ou é um lado comum, ou é um vértice, ou é vazia.
(Os vértices dos polígonos que compõem o poliedro são denominados os vértices do poliedro)
(c) É sempre possível ir, sobre o poliedro, de um ponto de uma face a um ponto de qualquer outra, sem passar por nenhum vértice (ou seja, cruzando apenas arestas).

Assim, para afirmarmos, neste tópico, que um objeto é um poliedro, teremos que verificar se as condições (a), (b) e (c) são, simultaneamente, cumpridas. Se uma delas falhar, o objeto não pode ser classificado/chamado de poliedro. Nessa altura do campeonato vocês podem estar se perguntando: E os exemplos?
Bom, chegou a hora deles e, portanto, convidamos vocês para a Atividade 1.



Vamos lá? É só clicar no botão abaixo e
bons estudos!

Observem atentamente as 16 figuras abaixo e investiguem se o objeto que cada uma representa atende às condições (a), (b) e (c) da nossa definição de poliedro.

Na análise de cada figura, é claro que:

  • se as três condições forem satisfeitas, então a figura representa um poliedro;
  • se uma das condições falhar já é suficiente para vocês garantirem que não se trata de um poliedro, e nem seria necessário testar as demais condições.

Mas queremos saber se vocês entenderam, de fato, as três condições, por isso a atividade não é, simplesmente, garantir se temos ou não poliedros, mas sim verificar quais dentre as condições (a), (b) e (c) são válidas e quais não, para cada um dos 16 objetos representados.

poli4 poli13 poli7 poli17
Objeto 1 Objeto 2 Objeto 3 Objeto 4
poli23 poli16 poli11 poli12
Objeto 5 Objeto 6 Objeto 7 Objeto 8
poli6 poli14 poli15 poli10
Objeto 9 Objeto 10 Objeto 11 Objeto 12
poli18 poli24 poli21 poli22
Objeto 13 Objeto 14 Objeto 15 Objeto 16



Os poliedros podem ser classificados em várias categorias. A próxima definição trata de uma categoria importante de poliedros: os poliedros convexos.

Um poliedro é dito convexo se toda reta não paralela e nem contida nos planos de suas faces o corta em, no máximo, dois pontos.

Dentre os poliedros convexos, destacaremos um tipo conhecido desde a antiguidade e que recebeu tratamento especial no livro XIII dos Elementos de Euclides: os poliedros regulares.

Um poliedro convexo é dito regular se todas as suas faces são polígonos regulares congruentes e, além disso, em cada vértice do poliedro concorre o mesmo número de arestas.

Observem que a segunda condição da definição de poliedro regular não decorre da primeira, como inicialmente poderíamos pensar. A bipirâmide pentagonal, por exemplo, tem dez faces que são triângulos equiláteros, mas o número de arestas que partem de cada vértice dela não é o mesmo (de alguns partem 4 e de outros partem 5). Dessa forma a bipirâmide pentagonal não é um poliedro regular.bipiramide

É possível demonstrar que existem apenas cinco tipos de poliedros regulares: os tetraedros, os cubos, os octaedros, os dodecaedros e os icosaedros.

platao2

Cabe aqui a observação de que, historicamente, o termo poliedro surgiu para designar o objeto sólido (sólidos de Platão, por exemplo). Atualmente o termo poliedro é utilizado tanto para o sólido como para a sua superfície (nosso caso).







A relação de Euler para poliedros


Apresentaremos agora um importante resultado sobre poliedros, conhecido como Relação de Euler ou Fórmula de Euler ou Teorema de Euler. Trata-se de uma propriedade geral que estabelece uma relação entre o número de vértices, o número de arestas e o número de faces de um poliedro convexo. O resultado foi anunciado pelo grande matemático suíço Leonhard Euler (1707–1783) em uma carta que ele escreveu para seu amigo, o também matemático Christian Goldbach (1690–1764), em novembro de 1750.

Em todo poliedro convexo vale a relação

[tex]V – A + F = 2 [/tex],

onde [tex]V [/tex] é o número de vértices, [tex]A[/tex] é o número de arestas e [tex]F[/tex] é o número de faces do poliedro em questão.

Observe que o resultado garante que a relação [tex]V – A + F = 2 [/tex] vale para todo poliedro convexo, mas nada podemos garantir para poliedros não convexos. Embora existam poliedros não convexos para os quais a relação é verdadeira, também existem poliedros não convexos para os quais ela não vale. Particularmente, poliedros para os quais a Relação Euler é válida são chamados poliedros Eulerianos. Assim:

Todo poliedro convexo é Euleriano, mas nem todo poliedro Euleriano é convexo.

Não faremos a demonstração aqui de que a relação de Euler é uma condição necessária para que um poliedro seja convexo, pois isso fugiria do nosso propósito que é, apenas, apresentar informações básicas para uma melhor execução das atividades relacionadas aos caleidociclos. Para os que se interessarem por conhecer uma demonstração desse resultado e explorá-lo um pouco mais, indicamos os seguintes artigos publicados na Revista do Professor de Matemática, RPM, edição número 3 de 1982 e edição número 47 de 2010, respectivamente:

❏ Demonstração do Teorema de
Euler para Poliedros convexos

Zoroastro Azambuja Filho

❏ V – A + F = 2.
Existe o poliedro?

Eduardo Wagner

E agora, vamos praticar?



Atividade 2


Na atividade 1 vocês classificaram os 16 objetos apresentados como poliedros e não poliedros. Nesta atividade, vocês deverão verificar quais dos poliedros apresentados são Eulerianos.
Para isso, contem o número de vértices, arestas e faces de cada poliedro, calculem o número [tex]V – A + F [/tex] e concluam se os respectivos poliedros são Eulerianos ou não.









Indo além da relação de Euler . . .


Muitos matemáticos se debruçaram sobre a relação [tex]V – A + F = 2 [/tex] tentando fazer dela um “teorema de verdade“, livre de contra-exemplos, por mais de um século. Como frutos de toda essa discussão colhemos a necessidade de uma definição precisa do que seja um poliedro (o próprio Euler nunca definiu precisamente poliedro) e a genial visão de Poincaré de que o número [tex]V – A + F[/tex] é, na verdade, uma característica topológica e não geométrica. Na verdade, ele notou que esse número é um invariante topológico, o que explicaria porque para todos os poliedros convexos [tex]V – A + F=2[/tex].

Vamos tentar dar uma explicação intuitiva do que isso significa. Imaginem objetos feitos de um material elástico e que ao injetarmos ar dentro deles podemos mudar as suas formas originais, sem rompê-los. Se conseguirmos desse modo deformar continuamente dois objetos transformando-os um no outro, esses dois objetos matematicamente são ditos homeomorfos (mesma forma). Nesse contexto, o número [tex]V – A + F[/tex] é referido (muito justamente) como característica de Euler-Poincaré; assim o que Poincaré provou foi que todos os poliedros que se “deformam” no mesmo objeto têm a mesma característica de Euler-Poincaré, pois são homeomorfos. Particularmente os poliedros convexos podem ser transformados em esferas, logo são homeomorfos à esfera. Portanto é por isso que para todos os poliedros convexos, assim como para outros que podem ser deformados em esferas, vale a relação de Euler: [tex]V – A + F=2[/tex].

homeomorfos homeomorfos1
Gif extraído de Uma pletora de poliedros

Bacana, não é? Se vocês se interessaram pelo assunto, leia este texto:

❏ O que é…
A Característica de Euler?

Lucia Fernández-Suarez

A ideia de objetos homeomorfos explica porque alguns dos objetos que vocês examinaram na Atividade 6 têm a mesma característica de Euler-Poincaré: mesmo, a princípio, tendo formas geométricas bem diferentes eles podem ser deformados e transformados em um mesmo objeto.

Toda essa discussão pode ser feita dentro de uma área da Matemática chamada Topologia. Se considerarmos apenas as três áreas clássicas da Matemática – Álgebra, Análise e Geometria – a Topologia estaria dentro da Geometria. Mas a Topologia poderia, inclusive, substituir a área de Geometria, ficando neste caso a Geometria como uma subárea da Topologia.

A Topologia surgiu no século XIX, a partir de trabalhos, principalmente, de Cantor, Poincaré e de Riemann. Ela se preocupa com propriedades de objetos geométricos que são preservadas, quando esses objetos são deformados; assim, estudando Topologia, vocês podem até se divertir, transformando rosquinhas em canecas e canecas em rosquinhas – transformações que até hoje o Homer Simpson tenta fazer…

homeomorfos2         rosquinha



Equipe COM – OBMEP

Figuras, vídeos, ideias e material eventual adaptados ou extraídos de:
➨ Poliedros de Platão    (Último acesso em 18/08/18)
➨ Uma pletora de poliedros – Definições    (Último acesso em 25/09/15)
➨ Wikimedia – Topology    (Último acesso em 18/08/18)
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