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Contagem de Divisores – Primeiros problemas

Contagem de Divisores – Problemas

Problema 1

Quantos divisores naturais possui o número [tex]N=1\cdot 2\cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10[/tex]?
 

Problema 2

Quantos divisores positivos possui o número [tex]N=30 \cdot 36 \cdot 49 \cdot 64[/tex]?
 

Problema 3

[tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] são dois números naturais tais que [tex]A=2 \cdot 3^2 \cdot 5^3[/tex]e [tex]B=2^2 \cdot 3 \cdot 5^2[/tex]. Qual o menor inteiro positivo pelo qual se deve multiplicar o número [tex]A[/tex] para que o resultado se torne divisível pelo número [tex]B[/tex]?
 

Problema 4

Calcule a soma dos divisores naturais comuns dos números [tex]54[/tex] e [tex]360[/tex].
 

Problema 5

O número [tex]A=2^2 \cdot 5^n[/tex] possui [tex]15[/tex] divisores naturais.
Determine o valor de [tex]n[/tex].
 

Problema 6

Determine a soma de todos os divisores do número [tex]120\ 345\ 576\ 002\ 433[/tex].
 

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2 comentários

  1. O número N=3.628.800, tem 192 divisores. Para determinar a quantidade de divisores utilizamos o cálculo de fatoração, ou seja, a decomposição do número 3.628.800 em números primos, depois colocamos esses números primos em forma de potência, então somamos 1 a cada expoente, e os multiplicamos, o que dará exatamente o número de divisores.
    Obs: A justificativa de somamos 1 a cada expoente e os multiplicamos que dará o número de divisores não sabemos, vocês poderiam explicar?

    1. Olá pessoal!
      Vamos por partes:
      1) Como ficou a decomposição de vocês? Parece que tem alguma coisa errada com ela…

      2) As justificativas de procedimentos matemáticos podem não ser imediatas. É o caso da pergunta de vocês: por que somar [tex]1[/tex] aos expoentes de cada um dos primos obtidos na decomposição de um número [tex]n[/tex] e multiplicar as somas obtidas para obter o número de divisores de [tex]n[/tex]?
      A explicação envolve três resultados importantes da matemática:

      • Decomposição de um número natural como produto de primos.
      • Determinação da forma dos divisores de um número natural, a partir da decomposição desse número.
      • Princípio Fundamental da Contagem.

      Vocês podem encontrar a justificativa neste texto.
      Deem uma lida, com calma e, qualquer dúvida, retornem.
      Bons estudos!

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