.Sala de Estudo: Contagem de Divisores

Como calcular a quantidade de divisores pares de um número natural não nulo?

Leia o texto abaixo e tente entender.
Vamos abordar de forma clara e objetiva esse assunto.

Contagem dos divisores naturais de um número natural

Inicialmente, faremos algumas observações para ajudar no entendimento do texto.
Sabemos que os divisores positivos de um número natural

$\, n$ são todos os números naturais

$\, p$ ,

$\, p>0$ , tais que

$\, n \,$ dividido por

$\, p \,$ deixa resto zero.
Em outras palavras, dizemos que

$\, p \,$ é um divisor positivo de um número natural

$\, n \,$ se as seguintes condições forem simultaneamente satisfeitas:

(i)

$\, p$

(ii)

$\, p\gt 0$

(iii)

$\, n \,$

$\, p \,$

$n$	$p$
$\textcolor{red}{0}$	$m$

Com isso, se $\, p \,$ for um divisor natural de um número natural $\, n$ , então existe um número natural $\, m \,$ tal que $\, n=p\cdot m \,$ .
Indicamos esse fato por $\, p|n \,$ (Lemos $\, p \,$ divide $\, n$ .).

Simbolicamente, $\, p|n \,$ , se $\, n=p\cdot m$ , com $\, m \in \mathbb{N}$ .

Observações Importantes:

1. Quando um número natural $\, n$ , $\, n>1$ , possui como divisores naturais apenas ele próprio e a unidade, dizemos que $\, n \,$ é um número primo. Desta forma, são números primos: $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ , $13$ , entre outros.
Existem infinitos números primos e isto pode ser demonstrado. (Tente provar! Caso não consiga, clique no botão a seguir.)

Suponha que exista uma quantidade finita de números primos, digamos

$k$ , e sejam

$p_1,\ p_2,\ \ldots,\ p_k$ os números primos existentes.
Considere o número

$\boxed{M=\left(p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot \ldots \cdot p_k \right)+1}\, .$
O Teorema Fundamental da Aritmética (Se não se lembra desse resultado, visite esta Sala), nos garante que

$M$ pode ser decomposto em fatores primos; logo, existe pelo menos um primo

$q$ que divide

$M.$ Mas estamos supondo que só existem

$k$ números primos, então

$q$ deve ser igual a algum dos primos

$p_1,\ p_2,\ \ldots,\ p_k$ , ou seja,

$q=p_i$ , com

$1 \leqslant i \leqslant k.$
Dessa forma,

$p_i$ é divisor do produto

$p_1\cdot p_2\cdot\ldots\cdot p_k\,.$
Assim,

$p_i$ é divisor de

$M=\left(p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot\ldots\cdot p_k \right)+1$ e divisor do produto

$p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot\ldots\cdot p_k$ ; portanto, temos que

$p_i$ é também divisor da diferença

$M-\left(p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot\ldots\cdot p_n \right)$ . No entanto, isso implica em

$p_i$ ser divisor de

$1$ e, portanto,

$p_i=1.$
Mas essa conclusão é um absurdo, já que

$1$ não é primo!
Observe que a suposição da existência de uma quantidade finita de números primos nos leva a um absurdo; portanto, existem infinitos números primos.

O primeiro matemático a demonstrar esse fato foi Euclides (matemático grego cuja biografia você pode encontrar na Biblioteca dos Clubes).

2. Fatorar um número natural significa escrevê-lo como um produto de fatores primos distintos com expoentes naturais.

3. Neste texto consideraremos apenas os divisores naturais de um número natural.

Antes de respondermos à pergunta inicial – Como calcular a quantidade de divisores pares de um número natural não nulo? – vamos responder uma pergunta mais geral:

Como determinar a quantidade de divisores de um número natural não nulo?

Veremos alguns exemplos simples, antes de generalizarmos a contagem dos divisores de um número natural.

Exemplo 1: Quantos são os divisores naturais do $1$ ?
Resposta: Apenas um: $1$ .

Exemplo 2: Quantos são os divisores naturais do $2$ ?
Resposta: São dois divisores: $1$ e $2$ .

Exemplo 3: Quantos são os divisores naturais do $4$ ?
Resposta: São três divisores: $1$ , $2$ e $4$ .

Exemplo 4: Quantos são os divisores naturais do $12$ ?
Resposta: São seis divisores: $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $6$ e $12$ .

Mas como faríamos para contar a quantidade de divisores naturais de um número,
se ele não fosse tão pequeno como nos exemplos mostrados?

Podemos utilizar para isto o Princípio Fundamental da Contagem. (Se você não se lembra desse Princípio, seria interessante dar uma passadinha nesta Sala de Estudo.)

Vejamos, por exemplo, como determinar a quantidade de divisores de, por exemplo 120, utilizando o Princípio Fundamental da Contagem.

Inicialmente, fatorando o número $120$ , encontramos que $\, 120=2^3\cdot 3^1\cdot5^1$ . Veja:

$\begin{array}{r|l}120 & 2\\60 & 2\\30 & 2\\15 & 3 \\5 & 5 \\1 & \boxed{120=2^3\cdot3^1\cdot5^1}\end{array}$

Afirmação: Todos os divisores naturais do $120$ serão da forma $2^x\cdot 3^y\cdot5^z$ , na qual

$\qquad \bullet \, \, x=0 \,$ ou $1$ ou $2$ ou $3$ ;
$\qquad \bullet \, \, y=0 \,$ ou $1$ ;
$\qquad \bullet \, \, z=0 \,$ ou $1$ .

Você saberia justificar essa afirmação?

Deste modo, há:

$4$ possibilidades para o valor de $\, x$ ;
$2$ possibilidades para o valor de $\, y$ ;
e $2$ possibilidades para o valor de $\, z \,$ .

Pelo Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo, o número total de possibilidades de escolhermos, simultaneamente, um valor para $\, x \,$ , um valor para $\, y \,$ e um para $\, z \,$ será dado pelo produto $\boxed{4\cdot 2 \cdot 2=16} \, .$
Portanto, o número $120$ possui $16$ divisores naturais.

O raciocínio acima, pode ser genericamente resumido da seguinte forma:

Dado um número natural $\, n$ , $n>1$ , cuja forma fatorada seja
$\qquad \qquad \, n=2^x\cdot 3^y\cdot 5^z \cdots$ , com $\, x, y, z, \cdots \in \mathbb{N}$ ,
a quantidade de divisores de $\, n \,$ será igual a $\boxed{(x+1)\cdot (y+1)\cdot (z+1)\cdots} \, .$
Assim, se você conhece a fatoração de um número natural $n$ como produto de potências de números primos, basta fazer o produto dos expoentes da fatoração acrescidos de uma unidade cada para determinar a quantidade de divisores que o número $\, n\,$ tem.

Você saberia justificar essa afirmação?

Agora, já podemos tratar da pergunta inicial:

Como calcular a quantidade de divisores pares de um número natural não nulo?

Particularmente, querendo descobrir quantos divisores naturais pares o $120$ possui, basta utilizar o procedimento citado acima, sem adicionar $1$ ao expoente do fator $2$ . ()
Assim, o $120$ possui $3\cdot (1+1)\cdot (1+1)=12$ divisores pares, a saber: $\, 2, \, 4, \, 6, \, 8, \, 10, \, 12, \, 20, \, 24, \, 30, \, 40, \, 60, \, 120$ .
Para o caso geral, esse raciocínio pode ser assim resumido:

Dado um número natural não nulo $\, n$ , $\, n>1$ , cuja forma fatorada é
$\qquad \qquad \, n=2^x\cdot 3^y\cdot 5^z \cdots$ ,
a quantidade de divisores naturais pares de $n$ será igual a $\boxed{ \, x\cdot (y+1)\cdot (z+1)\cdots} \, .$

A quantidade de divisores ímpares de um número natural $n$ é obtida subtraindo a quantidade de divisores pares da quantidade total de divisores naturais de $\, n \,$ .
No caso particular de $120$ , temos $16-12=4$ divisores ímpares, a saber $1, \, 3, \, 5, \, 15$ .

De maneira mais formal, seja $\, n \,$ um número natural, $\, n>1$ .
Se
$\qquad \qquad \boxed{ \, n=2^{x_0}\cdot p_1^{x_1}\cdot p_2^{x_2}\ldots \cdot p_r^{x_r}}$

é a decomposição de $\, n \,$ como produto de potências de números primos distintos, então a quantidade de divisores de $\, n \,$ será igual a

$\qquad \qquad \boxed{(x_0+1) \cdot (x_1+1) \cdot (x_2+1) \cdot \ldots \cdot (x_r+1)} \,$ .

Em particular, a quantidade de divisores pares de $\, n \,$ será
$\qquad \qquad \boxed{x_0\cdot (x_1+1) \cdot (x_2+1) \cdot \ldots \cdot(x_r+1)} \, .$

É importante observar que o primo $2$ não precisa necessariamente ser divisor de $\, n \,$ . (Tente entender essa observação e verifique cuidadosamente para esse caso as fórmulas apresentadas.)

É bom lembrar que o número $0$ admite infinitos divisores.

Equipe COM – OBMEP

Setembro de 2015.

Esperamos que você tire proveito da explanação feita aqui.
Nosso objetivo é tentar sempre facilitar o seu entendimento sobre assuntos importantes da matemática.
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Contagem de Divisores – Primeiros problemas