Sala de Estudo: Contagem de Divisores

Como calcular a quantidade de divisores pares de um número natural não nulo?

Probleminha2

Leia o texto abaixo e tente entender.
Vamos abordar de forma clara e objetiva esse assunto.

Contagem de divisores naturais de um número natural

Sabemos que os divisores positivos de um número natural [tex]~n[/tex] são todos os números naturais [tex]~p[/tex], [tex]~p>0[/tex], tais que [tex]~n~[/tex] dividido por [tex]~p~[/tex] deixa resto zero.
Em outras palavras, dizemos que [tex]~p~[/tex] é um divisor positivo de um número natural [tex]~n~[/tex] se:
(i) [tex]~p>0[/tex]
(ii) e se o resto da divisão de [tex]~n~[/tex] por [tex]~p~[/tex] for zero.
Com isso, se [tex]~p~[/tex] for um divisor natural de um número natural [tex]~n[/tex], então existe um número natural [tex]~m~[/tex] tal que [tex]~n=p\cdot m~[/tex].
Indicamos esse fato por [tex]~p|n~[/tex] (Lemos [tex]~p~[/tex] divide [tex]~n[/tex]).
Simbolicamente, [tex]~p|n~[/tex], se [tex]~n=p\cdot m[/tex], com [tex]~m \in \mathbb{N}[/tex].

Observações Importantes:

1. Quando um número natural [tex]~n[/tex], [tex]~n>1[/tex], possui como divisores naturais apenas ele próprio e a unidade, dizemos que [tex]~n~[/tex] é um número primo. Desta forma, são números primos: [tex]2[/tex], [tex]3[/tex], [tex]5[/tex], [tex]7[/tex], [tex]11[/tex], [tex]13[/tex], entre outros.
Existem infinitos números primos e isto pode ser demonstrado (Tente provar, caso não consiga, pesquise).
O primeiro matemático a demonstrar esse fato foi Euclides (matemático grego cuja biografia você pode encontrar na Biblioteca dos Clubes).

2. Fatorar um número natural significa escrevê-lo como um produto de fatores primos distintos com expoentes naturais.

3. Neste texto consideraremos apenas os divisores naturais de um número natural.

Como, então, determinar a quantidade de divisores de um número natural não nulo?

Vamos ver alguns exemplos simples, antes de generalizarmos a contagem dos divisores de um número natural.

Exemplo 1: Quais os divisores naturais do [tex]1[/tex]?
Resposta: Apenas o [tex]1[/tex].

Exemplo 2: Quais os divisores naturais do [tex]2[/tex]?
Resposta: São [tex]1[/tex] e [tex]2[/tex].

Exemplo 3: Quais os divisores naturais do [tex]4[/tex]?
Resposta: São [tex]1[/tex], [tex]2[/tex] e [tex]4[/tex].

Exemplo 4: Quais os divisores naturais do [tex]12[/tex]?
Resposta: São [tex]1[/tex], [tex]2[/tex], [tex]3[/tex], [tex]4[/tex], [tex]6[/tex] e [tex]12[/tex].

Exemplo 5: Formas fatoradas:
[tex]\quad \quad \quad~~~~\bullet 12=2^2\cdot 3[/tex].
[tex]\quad \quad \quad~~~~\bullet 15=3^1\cdot 5^1[/tex].
[tex]\quad \quad \quad~~~~\bullet 15=2^0\cdot 3^1\cdot 5^1[/tex].
[tex]\quad \quad \quad~~~~\bullet 27=3^3[/tex].
[tex]\quad \quad \quad~~~~\bullet 27=2^0 \cdot 3^3[/tex].

Mas como faríamos para contar a quantidade de divisores naturais de um número,
se ele não fosse tão pequeno como nos exemplos mostrados?

Podemos utilizar para isto o Princípio Fundamental da Contagem.
Vejamos, então, como determinar a quantidade de divisores de, por exemplo 120, utilizando o Princípio Fundamental da Contagem.
Inicialmente, fatorando o número [tex]120[/tex], encontramos que [tex]~120=2^3\cdot 3^1\cdot5^1[/tex]. Veja:

[tex]\begin{array}{r|l}120 & 2\\60 & 2\\30 & 2\\15 & 3 \\5 & 5 \\1 & \boxed{2^3\cdot3^1\cdot5^1}\end{array}[/tex]

Afirmação: Todos os divisores naturais do [tex]120[/tex] serão da forma [tex]2^x\cdot 3^y\cdot5^z[/tex], onde

[tex]\qquad \bullet~~x=0~[/tex] ou [tex]1[/tex] ou [tex]2[/tex] ou [tex]3[/tex];
[tex]\qquad \bullet~~y=0~[/tex] ou [tex]1[/tex];
[tex]\qquad \bullet~~z=0~[/tex] ou [tex]1[/tex].

Você saberia justificar essa afirmação?


Deste modo, há:

  • [tex]4[/tex] possibilidades para o valor de [tex]~x[/tex];
  • [tex]2[/tex] possibilidades para o valor de [tex]~y[/tex];
  • e [tex]2[/tex] possibilidades para o valor de [tex]~z~[/tex].

Pelo Princípio Fundamental da Contagem ou Princípio Multiplicativo, o número total de possibilidades de escolhermos, simultaneamente, um valor para [tex]~x~[/tex], um valor para [tex]~y~[/tex] e um para [tex]~z~[/tex] será dado pelo produto [tex]\boxed{4\cdot 2 \cdot 2=16}~.[/tex]
Portanto, o número [tex]120[/tex] possui [tex]16[/tex] divisores naturais.

O raciocínio acima, pode ser genericamente resumido da seguinte forma:

Dado um número natural [tex]~n[/tex], [tex] n>1[/tex], cuja forma fatorada seja
[tex]\qquad \qquad ~n=2^x\cdot 3^y\cdot 5^z \cdots[/tex], com [tex]~x, y, z, \cdots \in \mathbb{N}[/tex],
a quantidade de divisores de [tex]~n~[/tex] será igual a [tex]\boxed{(x+1)\cdot (y+1)\cdot (z+1)\cdots}~.[/tex]

Você saberia justificar essa afirmação?

Agora, querendo descobrir quantos divisores naturais pares o [tex]120[/tex] possui, basta utilizar o procedimento citado, sem adicionar [tex]1[/tex] ao expoente do fator [tex]2[/tex]. (Você saberia o porquê dessa afirmação?)
Assim, o [tex]120[/tex] possui [tex]3\cdot (1+1)\cdot (1+1)=12[/tex] divisores pares, a saber: [tex]~2,~4, ~6,~ 8,~ 10, ~12, ~20,~ 24, ~30, ~40,~ 60, ~120[/tex].
Esse raciocínio pode ser assim resumido:

Dado um número natural não nulo [tex]~n[/tex], [tex] ~n>1[/tex], cuja forma fatorada é
[tex]\qquad \qquad~n=2^x\cdot 3^y\cdot 5^z \cdots[/tex],
a quantidade de divisores naturais pares de [tex]n[/tex] será igual a [tex]\boxed{~x\cdot (y+1)\cdot (z+1)\cdots}~.[/tex]

A quantidade de divisores ímpares de um número natural [tex] n[/tex] é obtida subtraindo a quantidade de divisores pares da quantidade total de divisores naturais de [tex] ~n~ [/tex].
No caso particular de [tex]120[/tex], temos [tex]16-12=4[/tex] divisores ímpares, a saber [tex]1,~ 3,~ 5,~ 15[/tex].

De maneira mais formal, seja [tex]~n~[/tex] um número natural, [tex]~n>1[/tex].
Se
[tex]\qquad \qquad \boxed{~n=2^{x_0}\cdot p_1^{x_1}\cdot p_2^{x_2}\cdots \cdot p_r^{x_r}}[/tex]

é a decomposição de [tex]~n~[/tex] como produto de potências de números primos distintos, então a quantidade de divisores de [tex]~n~[/tex] será igual a

[tex]\qquad \qquad \boxed{(x_0+1) (x_1+1) (x_2+1) \cdots (x_r+1)}~[/tex].

Em particular, a quantidade de divisores pares de [tex]~n~[/tex] será
[tex]\qquad \qquad \boxed{x_0\cdot (x_1+1) (x_2+1) \cdots (x_r+1)}~.[/tex]

É importante observar que o primo [tex]2[/tex] não precisa necessariamente ser divisor de [tex]~n~[/tex]. (Tente entender essa observação e verifique cuidadosamente para esse caso as fórmulas apresentadas.)

É bom lembrar que o número [tex]0[/tex] admite infinitos divisores.



Equipe COM – OBMEP

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Contagem de Divisores – Primeiros problemas

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