.Problema para ajudar na escola: Números versáteis

Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Difícil)


(VIII ONEM, 2011 – Adaptado) Vejam que propriedade interessante o número [tex]1037[/tex] tem:

Perceberam?

A soma de [tex]1037[/tex] com [tex]7301[/tex] é um palíndromo (ou capicua), isto é, um número que permanece o mesmo quando lemos os seus dígitos de “frente para trás” ou de “trás para frente”.
Por esse motivo, [tex]1037[/tex] é dito um número versátil, de acordo com a seguinte definição:

Um número natural de quatro dígitos é dito versátil se não for um múltiplo de [tex]10[/tex] e, ao ser somado com o número que se obtém da inversão da ordem de seus algarismos, obtém-se um palíndromo de quatro dígitos.

Quantos números versáteis de quatro dígitos existem?

Lembrete:

explicador_p
Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo, para dois eventos: Se

  • um evento E1 puder ocorrer de [tex] m_1 [/tex] maneiras,
  • um evento E2 puder ocorrer de [tex]m_2 [/tex] maneiras,

e esses dois eventos forem independentes entre si, então a quantidade de maneiras em que os dois eventos ocorrem ao mesmo tempo é [tex]\boxed{m_1\times m_2}\, .[/tex]

Solução


Seja [tex]abcd[/tex] um número versátil. (Antes de prosseguir, observe que aqui a notação [tex]abcd[/tex] não indica um produto e sim a representação de um número de quatro algarismos no sistema decimal.)
Assim, segundo a definição dada no problema, [tex]P=abcd+dcba[/tex] é um palíndromo com quatro algarismos.
Vamos observar os algarismos de milhar, centena, dezena e unidade da soma [tex]P=abcd+dcba[/tex] utilizando o esqueminha da adição.

[tex]\begin{array}{c c c c}
\textcolor{red}{Mi}&\textcolor{red}{Ce}&\textcolor{red}{De}&\textcolor{red}{Un}\\
\,a&b&c&d\,\\
\,d&c&b&a\,\\
\hline
\end{array}\,+[/tex]

  • Como [tex]P[/tex] tem quatro algarismos, a soma [tex]a+d[/tex] que define o algarismo dos milhares de [tex]P[/tex] não pode ser maior do que [tex]9[/tex], ou seja, [tex]\boxed{a+d \leqslant 9}\,.[/tex] Como [tex]P[/tex] é palíndromo seu algarismo das unidades é também [tex]a+d.[/tex]
  • Como o algarismo dos milhares é exatamente [tex]a+d[/tex], então, na definição do algarismo das centenas da soma [tex]abcd+dcba[/tex], a soma [tex]b+c[/tex] não leva uma unidade de milhar para a soma [tex]a+d[/tex]. Dessa forma, [tex]\boxed{b+c \leqslant 9}\,.[/tex] Como [tex]P[/tex] é palíndromo, seu algarismo das dezenas é também [tex]b+c.[/tex]

[tex]\begin{array}{c c c c}
\textcolor{red}{Mi}&\textcolor{red}{Ce}&\textcolor{red}{De}&\textcolor{red}{Un}\\
\,a&b&c&d\,\\
\,d&c&b&a\,\\
\hline
\,\,a+d\,&\,b+c\,&\,b+c\,&\,a+d\,\,\\
\end{array}+[/tex]

Pronto, com as informações de que [tex]\,\boxed{a+d \leqslant 9}\,[/tex] e [tex]\,\boxed{b+c \leqslant 9}\,[/tex] já podemos contar quantos números versáteis existem.
Vamos lá!

    [tex]\textcolor{#800000}{(1)}[/tex] Para contar a quantidade de algarismos [tex]a[/tex] e [tex]d[/tex], além da informação que [tex]a+d \leqslant 9 [/tex], observe que o número [tex]abcd[/tex] tem quatro dígitos e não é um múltiplo de [tex]10[/tex]. Com isso, temos três condições: [tex]\boxed{a+d \leqslant 9}[/tex], [tex]\, \boxed{1\leqslant a}\,[/tex] e [tex]\, \boxed{1\leqslant d}\,[/tex].

    • Para [tex]a=1[/tex], temos [tex]8[/tex] possibilidades para [tex]d[/tex];
    • para [tex]a=2[/tex], temos [tex]7[/tex] possibilidades para [tex]d[/tex];
    • para [tex]a=3[/tex], temos [tex]6[/tex] possibilidades para [tex]d[/tex];
    • para [tex]a=4[/tex], temos [tex]5[/tex] possibilidades para [tex]d[/tex];
    • para [tex]a=5[/tex], temos [tex]4[/tex] possibilidades para [tex]d[/tex];
    • para [tex]a=6[/tex], temos [tex]3[/tex] possibilidades para [tex]d[/tex];
    • para [tex]a=7[/tex], temos [tex]2[/tex] possibilidades para [tex]d[/tex];
    • para [tex]a=8[/tex], temos [tex]1[/tex] possibilidade para [tex]d[/tex];
    • não podemos ter [tex]a=9[/tex], pois, nesse caso, teríamos [tex]d=0[/tex].

    Assim, temos [tex]8+7+6+5+4+3+2+1=36[/tex] possibilidades para escolha simultânea de [tex]a[/tex] e [tex]d.[/tex]
    [tex]\,\,\,\,[/tex]
    [tex]\textcolor{#800000}{(2)}[/tex] Para contar a quantidade de algarismos [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex], além da informação de que [tex]\,\boxed{0 \leqslant b,c \leqslant 9}[/tex], utilizaremos a informação [tex]\boxed{b+c \leqslant 9}.[/tex]

    • para [tex]b=0[/tex], temos [tex]10[/tex] possibilidades para [tex]c[/tex];
    • para [tex]b=1[/tex], temos [tex]9[/tex] possibilidades para [tex]c[/tex];
    • para [tex]b=2[/tex], temos [tex]8[/tex] possibilidades para [tex]c[/tex];
    • para [tex]b=3[/tex], temos [tex]7[/tex] possibilidades para [tex]c[/tex];
    • para [tex]b=4[/tex], temos [tex]6[/tex] possibilidades para [tex]c[/tex];
    • para [tex]b=5[/tex], temos [tex]5[/tex] possibilidades para [tex]c[/tex];
    • para [tex]b=6[/tex], temos [tex]4[/tex] possibilidades para [tex]c[/tex];
    • para [tex]b=7[/tex], temos [tex]3[/tex] possibilidades para [tex]c[/tex];
    • para [tex]b=8[/tex], temos [tex]2[/tex] possibilidades para [tex]c[/tex];
    • para [tex]b=9[/tex], temos [tex]1[/tex] possibilidade para [tex]c[/tex].

    Logo, temos [tex]10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55[/tex] possibilidades para escolha simultânea de [tex]b[/tex] e [tex]c.[/tex]

Finalmente, pelo Princípio Fundamental da Contagem, existem [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$36 \times 55=1\,980$}[/tex] números versáteis de quatro dígitos/algarismos.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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