.Problema para ajudar na escola: Subconjuntos de um conjunto

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Problema
(A partir da 2ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Muito Difícil)

Quantos subconjuntos $A$ , $B$ e $C$ do conjunto $\{m,p,q,t\}$ podemos formar, de modo que:

$A\cap B\cap C=\emptyset$ ,
$A\cap B\ne \emptyset\,\,$ e
$A\cap C\ne \emptyset$ .

AJUDAS

Diagramas de Venn são representações esquemáticas que permitem visualizarmos conjuntos como se fossem regiões do plano. Podemos utilizar esse tipo de representação para organizar os dados de determinados problemas e visualizar melhor um caminho para resolvê-los. A partir de um conjunto universo, os vários conjuntos envolvidos no problema são limitados por figuras fechadas, como círculos, quadrados, retângulos e losangos. O interior de cada figura representa os elementos do respectivo conjunto.
(Se você não se lembra desses diagramas, seria interessante dar uma passadinha nesta Sala de Estudo.)

Combinação simples: Uma das maneiras de agruparmos elementos de um dado conjunto é escolhê-los levando-se em consideração apenas a sua natureza, sem se importar em que ordem eles foram escolhidos ou apresentados. Esse tipo de agrupamento de elementos é denominado uma Combinação simples. Particularmente, quando escolhemos $r$ dentre $n$ elementos de um conjunto dessa forma, dizemos que estamos definindo uma Combinação simples de $n$ elementos tomados $r$ a $r$ . A quantidade desse tipo de agrupamentos é denotada por $C_{n,r}$ ou $C_n^r\,$ e assim definida:

$C_{n,r}=C_n^r=\dfrac{n!}{(n-r)!\,r!} \text{, com } n,r\in\mathbb{N} \text{ e } r\leqslant n$ .

Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo: Se

uma decisão D1 puder ser tomada de $m_1$ maneiras distintas,
uma decisão D2 puder ser tomada de $m_2$ maneiras distintas,
$\cdots$
uma decisão Dk puder ser tomada de $m_k$ maneiras distintas e
todas essas decisões forem independentes entre si (isto é, a escolha de uma não muda a quantidade de possibilidades para a escolha de outra),

então o número total de maneiras de tomarmos sucessivamente essas $k$ decisões (D1 e D2 e $\cdots$ e Dk) é igual ao produto
$\qquad \qquad \boxed{m_1\times m_2 \times \cdots \times m_k} \, .$
(Se você não se lembra desse Princípio, seria interessante dar uma passadinha nesta Sala de Estudo.)

Princípio Aditivo: Se

uma decisão D1 puder ser tomada de $m_1$ maneiras distintas,
uma decisão D2 puder ser tomada de $m_2$ maneiras distintas,
$\cdots$
uma decisão Dk puder ser tomada de $m_k$ maneiras distintas e
todas essas decisões forem independentes entre si (isto é, a escolha de uma não muda a quantidade de possibilidades para a escolha de outra),

então a quantidade de maneiras em que uma das $k$ decisões pode ser tomada (D1 ou D2 ou $\cdots$ ou Dk) é
$\qquad \qquad \boxed{m_1+ m_2 + \cdots + m_k} \, .$

Solução

Vamos fazer um Diagrama de Venn para ajudar na visualização dos conjuntos que podemos formar. Para isso, observe que:
►

$A\cap B\ne \emptyset\,$ . Vamos denotar esse conjunto interseção por

$H$ ; assim,

$\boxed{H=A\cap B}\,.$
►

$A\cap C\ne \emptyset\,$ . Vamos denotar esse conjunto interseção por

$G$ ; logo,

$\boxed{G=A\cap C}\,.$
►

$A\cap B\cap C=\emptyset$ ; assim, essa interseção não será representada no nosso diagrama.
► Não temos dados que garantam que

$A\cup B\cup C=\{m,\,p,\,q,\,t\}$ ; logo, utilizaremos na nossa representação um conjunto universo

$U$ para que possamos colocar os possíveis elementos que não estejam em nenhum dos conjuntos

$A$ ,

$B$ ou

$C\,.$

Vamos resolver o problema distribuindo os quatro elementos $m,\,p,\,q$ e $t$ nas sete regiões que compõem o diagrama acima:
elementos apenas de $A$ ;
elementos apenas de $B$ ;
elementos apenas de $C$ ;
elementos apenas de $G$ ;
elementos apenas de $H$ ;
elementos de $B$ e $C$ , mas não de $A$ ;
elementos que não são de $A$ , nem de $B$ e nem de $C\,.$
Observe que, como $A\cap B\ne \emptyset\,$ e $A\cap C\ne \emptyset\,$ , então devemos colocar pelo menos um elemento em cada região $G$ e $H$ ; e esses elementos não podem ser o mesmo, já que $A\cap B\cap C=\emptyset\,.$
Cada distribuição corresponderá a uma definição de conjuntos $A$ , $B$ e $C$ que satisfazem as condições do problema.
Analisando a quantidade de elementos dos conjuntos $G$ e $H$ , temos os seguintes casos possíveis de distribuição:

Caso 1: $G$ e $H$ têm um elemento cada.
Neste caso, vamos distribuir os quatro elementos $m,\,p,\,q$ e $t$ em quatro etapas: a escolha do elemento de $H$ , a escolha do elemento de $G$ , a escolha da região na qual o terceiro elemento será colocado e a escolha da região na qual o quarto elemento será colocado.
$\qquad –$ A escolha do elemento de $H$ pode ser feita de $4$ modos distintos.
$\qquad –$ A escolha do elemento de $G$ pode ser feita de $3$ modos distintos.
Os outros dois elementos podem ser colocados em qualquer uma das outras cinco regiões, sem restrições. Portanto:
$\qquad –$ A colocação do terceiro elemento poderá ser feita de $5$ modos distintos.
$\qquad –$ A colocação do quarto elemento poderá ser feita de $5$ modos distintos.

Pelo Princípio Multiplicativo, podemos fazer a distribuição dos elementos neste caso de
$\qquad 4 \times 3 \times 5 \times 5=\boxed{300}$ maneiras distintas. $\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(i)}$

Caso 2: $G$ tem dois elementos e $H$ tem apenas um.
Neste caso, vamos distribuir os quatro elementos $m,\,p,\,q$ e $t$ em três etapas: a escolha dos elementos de $G$ , a escolha do elemento de $H$ e a escolha da região na qual o quarto elemento será colocado.
$\qquad –$ A escolha dos dois elementos de $G$ pode ser feita de $C_4^2=\dfrac{4!}{(4-2)!\,2!}=6$ modos distintos.
$\qquad –$ A escolha do elemento de $H$ pode ser feita de $2$ modos distintos.
O último elemento pode ser colocado em qualquer uma das outras cinco regiões, sem restrições. Logo:
$\qquad –$ A colocação do quarto elemento poderá ser feita de $5$ modos distintos.

Pelo Princípio Multiplicativo, podemos fazer a distribuição dos elementos neste caso de
$\qquad 6 \times 2 \times 5=\boxed{60}$ maneiras distintas. $\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}$

Caso 3: $H$ tem dois elementos e $G$ tem apenas um.
De maneira análoga ao caso anterior, neste caso, podemos fazer a distribuição dos elementos de
$\qquad \boxed{60}$ maneiras distintas. $\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(iii)}$
Caso 4: $G$ tem três elementos e $H$ tem apenas um.
Neste caso, vamos apenas escolher o elemento de $H$ ; os outros três elementos necessariamente serão os elementos de $G.$ Assim, como a escolha do elemento de $H$ pode ser feita de $4$ modos distintos, neste caso podemos fazer a distribuição dos elementos de
$\qquad \boxed{4}$ maneiras distintas. $\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(iv)}$
Caso 5: $H$ tem três elementos e $G$ tem apenas um.
Neste caso, vamos apenas escolher o elemento de $G$ ; os outros três elementos necessariamente estarão em $H.$ Como no caso anterior, neste caso podemos fazer a distribuição dos elementos de
$\qquad \boxed{4}$ maneiras distintas. $\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(v)}$
Caso 6: $G$ e $H$ têm dois elementos cada.
Neste caso, vamos distribuir os quatro elementos em duas etapas: a escolha dos elementos de $G$ e a escolha do elemento de $H.$
$\qquad –$ A escolha dos dois elementos de $G$ pode ser feita de $C_4^2=\dfrac{4!}{(4-2)!\,2!}=6$ modos distintos.
Escolhidos os dois elementos de $G$ , os elementos de $H$ ficam automaticamente escolhidos; assim, neste caso, podemos fazer a distribuição dos elementos de
$\qquad \boxed{6}$ maneiras distintas. $\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(vi)}$

Dessa forma, por $\textcolor{#800000}{(i)}$ , $\textcolor{#800000}{(ii)}$ , $\textcolor{#800000}{(iii)}$ , $\textcolor{#800000}{(iv)}$ , $\textcolor{#800000}{(v)}$ , $\textcolor{#800000}{(vi)}$ e pelo Princípio Aditivo, podemos distribuir os elementos $m,\,p,\,q$ e $t$ nas sete regiões que compõem o diagrama que fizemos de
$\qquad 300+60+60+4+4+6=434$ maneiras distintas.
Consequentemente, podemos definir conjuntos $A$ , $B$ e $C$ que atendam às condições do problema de $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$434$}$ maneiras diferentes.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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