Contagem de Divisores – Problemas
Problema 1
Quantos divisores naturais possui o número [tex]N=1\cdot 2\cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10[/tex]?
Problema 2
Quantos divisores positivos possui o número [tex]N=30 \cdot 36 \cdot 49 \cdot 64[/tex]?
Problema 3
[tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] são dois números naturais tais que [tex]A=2 \cdot 3^2 \cdot 5^3\,[/tex] e [tex]\,B=2^2 \cdot 3 \cdot 5^2[/tex]. Qual o menor inteiro positivo pelo qual se deve multiplicar o número [tex]A[/tex] para que o resultado se torne divisível pelo número [tex]B[/tex]?
Problema 4
Calcule a soma dos divisores naturais comuns dos números [tex]54[/tex] e [tex]360[/tex].
Problema 5
O número [tex]A=2^2 \cdot 5^n[/tex] possui [tex]15[/tex] divisores naturais.
Determine o valor de [tex]n[/tex].
Problema 6
Determine a soma de todos os divisores do número [tex]120\ 345\ 576\ 002\ 433[/tex].
2 comentários
O número N=3.628.800, tem 192 divisores. Para determinar a quantidade de divisores utilizamos o cálculo de fatoração, ou seja, a decomposição do número 3.628.800 em números primos, depois colocamos esses números primos em forma de potência, então somamos 1 a cada expoente, e os multiplicamos, o que dará exatamente o número de divisores.
Obs: A justificativa de somamos 1 a cada expoente e os multiplicamos que dará o número de divisores não sabemos, vocês poderiam explicar?
Autor
Olá pessoal!
Vamos por partes:
1) Como ficou a decomposição de vocês? Parece que tem alguma coisa errada com ela…
2) As justificativas de procedimentos matemáticos podem não ser imediatas. É o caso da pergunta de vocês: por que somar [tex]1[/tex] aos expoentes de cada um dos primos obtidos na decomposição de um número [tex]n[/tex] e multiplicar as somas obtidas para obter o número de divisores de [tex]n[/tex]?
A explicação envolve três resultados importantes da matemática:
Vocês podem encontrar a justificativa neste texto.
Deem uma lida, com calma e, qualquer dúvida, retornem.
Bons estudos!