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Um pouco sobre divisibilidade – Retomando um problema já resolvido

Retomando um problema já resolvido


Nas Salas de Problemas do nosso Blog, pode ser encontrada a solução deste problema:

São tantos armários …

Uma escola possui mil alunos e cada um deles possui um armário. Os armários estão enfileirados num corredor e numerados de 1 a 1000. Indicando cada aluno pelo número de seu armário, o professor de Matemática da escola propôs a seguinte atividade:
(1) Os armários estão inicialmente todos fechados, mas destrancados.
(2) Ordenadamente, cada aluno [tex]n[/tex] passará pelos armários mudando a situação (abrindo o que está fechado, ou fechando o que está aberto) daqueles armários cujo número é divisível por [tex]n[/tex].
Quantos armários estarão abertos após o término da atividade?


Para ver a solução, clique AQUI

Nesta Sala, revisitaremos a matemática desse problema para explorá-la mais profundamente. Mas antes, assistiremos a um vídeo que apresenta uma contextualização divertida do problema e de sua solução.


Surpresa para os calouros



Vídeo disponibilizado pela M3 Matemática Multimídia – UNICAMP


O que permitiu que o problema dos armários fosse resolvido foi um resultado apresentado informalmente, tanto no nosso Blog como no vídeo:

Um número natural [tex]n[/tex] tem um número ímpar de divisores
se, e somente se,
[tex]n[/tex] for um quadrado perfeito ([tex]n=b^2[/tex], para algum [tex]b\in\mathbb{N}[/tex])
.

Então, esta última atividade da Sala de Estudo Divisibilidade nos Naturais será a demonstração formal desse resultado. Para ajudar, indicaremos uma sequência de problemas que serão pré-requisitos para essa demonstração.

Vamos lá, pessoal,
mãos à obra!

Última atividade

Alguns dos problemas que serão apresentados nesta atividade já foram propostos em outras de nossas Salas. Eles reaparecem aqui para compor o caminho que levará à demonstração do resultado final proposto.

1) Mostre que o produto de dois números naturais pares é par.

2) Mostre que o produto de dois números naturais ímpares é ímpar.

3) Mostre que o produto de um número natural par por um número natural ímpar é par.

4) Mostre que o produto de dois números naturais é ímpar se, e somente se, ambos forem ímpares.

5) Tome um número finito de números naturais. Mostre que, se um deles for par, então o produto deles é par.

6) Tome um número finito de números naturais. Mostre que, se o produto desses números for ímpar, então todos os fatores são ímpares.

7) Mostre que:

Um número natural [tex]n[/tex] tem um número ímpar de divisores
se, e somente se,
[tex]n[/tex] for um quadrado perfeito ([tex]n=b^2[/tex], para algum [tex]b\in\mathbb{N}[/tex]).



Equipe COM – OBMEP

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