.Sala de Estudo: Propriedades da trigonometria do triângulo retângulo

Trigonometria do triângulo retângulo

Discutiremos nesta sala as propriedades iniciais da trigonometria do triângulo retângulo.
Para esta discussão necessitaremos das definições de seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo.
Vamos reapresentá-las aqui, para que vocês possam trabalhar sem que precisem ficar mudando de página!

Seja $ACB$ um triângulo retângulo com catetos e hipotenusa com comprimentos $a, \, b, \, h$ , respectivamente e um dos ângulos agudos com medida $\theta$ , $0^{\circ} \lt\theta\lt 90^{\circ}$ .
definindo1
Nessas condições, chamamos de:

tangente de $\theta$ , e denotamos por $tg \, \theta$ , a razão entre os comprimentos do cateto oposto e do cateto adjacente a $\theta$ :
$\qquad\qquad tg \, \theta= \dfrac{a}{b}$ ;

seno de $\theta$ , e denotamos por $sen \, \theta$ , a razão entre os comprimentos do cateto oposto a $\theta$ e da hipotenusa:
$\qquad\qquad sen \, \theta= \dfrac{a}{h}$ ;

cosseno de $\theta$ , e denotamos por $cos \, \theta$ , a razão entre os comprimentos do cateto adjacente a $\theta$ e da hipotenusa:
$\qquad\qquad cos \, \theta= \dfrac{b}{h}$ .

Nesta sala, além de reapresentar as propriedades iniciais da trigonometria do triângulo retângulo, vamos justificá-las matematicamente e comentá-las.

Isso significa que para cada propriedade vamos fazer uma demonstraçãozinha, não é?

Isso mesmo! Afirmações matemáticas carecem de justificativas para que sejam consideradas válidas. Particularmente as justificativas que faremos são muito simples de serem entendidas.

Para justificativas mais sofisticadas é necessário uma linguagem mais sofisticada, também.
Se vocês têm dificuldades com o uso de linguagem matemática, cliquem no próximo botão e aprendam um pouco mais…

Bom proveito, pessoal ! ! !

Propriedades iniciais da trigonometria do triângulo retângulo

Propriedade 1: Seja

$ACB$ um triângulo retângulo com catetos e hipotenusa com comprimentos

$a, \, b, \, h$ , respectivamente. Seja

$\theta$ a medida em graus de um dos ângulos agudos desse triângulo,

$0^{\circ} \lt\theta\lt 90^{\circ}$ .
Nessas condições, são válidas as seguintes propriedades:

a) $sen^2\theta + cos^2\theta = 1 \qquad\qquad$ b) $\dfrac{sen \, \theta}{cos \, \theta} = tg \, \theta$ .

● Não é à toa que essas duas igualdades são denominadas relações fundamentais da trigonometria.
Observem que

$sen \, \theta, \, cos \, \theta, \, tg \, \theta$ são valores positivos; assim, se conhecemos um desses valores, essas duas relações nos fornecem os outros dois.

Consideremos o triângulo

$ABC$ , retângulo em

$C$ e com um de seus ângulos agudos medindo

$\theta$ , conforme mostra a figura acima. Como

$ABC$ é um triângulo retângulo, o Teorema de Pitágoras nos garante que

$a^2+b^2=h^2$ e, portanto, temos que:

$\quad sen^2\theta + cos^2\theta=\left(\dfrac {a}{h} \right)^2 + \left(\dfrac {b}{h} \right)^2=\dfrac{a^2+b^2}{h^2}=\dfrac{h^2}{h^2}=1$ .
Por outro lado,

$\quad \dfrac{sen \, \theta}{cos \, \theta} = \dfrac{ \, \frac {a}{h} \, }{ \, \frac {b}{h} \, }=\dfrac{a\cdot h}{b\cdot h}=\dfrac{a}{b}=tg \, \theta$ .

Propriedade 2: Considerem dois ângulos agudos complementares com medidas

$\alpha$ e

$\beta$ .
Então:

a) $\, sen \, \alpha = cos \, \beta \, \, \, \, \, \, \, \, \qquad\qquad$ b) $\, tg \, \alpha = \dfrac{1}{tg \, \beta}$ .

● Se os ângulos são complementares, então

$\alpha + \beta = 90^{\circ}$ ; portanto, com essa propriedade, quando obtemos o seno, o cosseno e a tangente de um ângulo agudo, na verdade, obtemos o seno, o cosseno e a tangente para dois ângulos: o ângulo inicial e o seu complementar. Assim para se obter as razões trigonométricas relativas aos ângulos de medida

$\theta$ , com

$0^{\circ} \lt \theta \lt 90^{\circ}$ , basta trabalharmos como medidas

$\theta$ tais que

$0^{\circ} \lt \theta \le 45^{\circ}$ .

$\alpha + \beta = 90^{\circ}$ , podemos construir um triângulo retângulo

$ABC$ tal que seus ângulos agudos medem

$\alpha \,$ e

$\, \beta,$ conforme o triângulo mostrado na figura. Dessa forma, temos que:

$\qquad (i) \, sen \, \alpha= \dfrac{a}{h} \, \, \, \, cos \, \alpha= \dfrac{b}{h} \, \, \, \, tg \, \alpha= \dfrac{a}{b}$ ;

$\qquad (ii) \, sen \, \beta= \dfrac{b}{h} \, \, \, \, cos \, \beta= \dfrac{a}{h} \, \, \, \, tg \, \beta= \dfrac{b}{a}$ .

Uma simples comparação das igualdades de $(i) \,$ e $\, (ii)$ nos garante que $\, sen \, \alpha = cos \, \beta \,$ e $\, tg \, \alpha = \dfrac{1}{tg \, \beta}$ .

Propriedade 3: Seja

$\theta$ tal que

$0^{\circ} \lt \theta \lt 45^{\circ}$ .
Então:
a)

$\, sen \, 2\theta=2sen\theta \cdot cos\theta\qquad\qquad$ b)

$sen \, \dfrac{\theta}{2}=\sqrt{\dfrac{1-cos \, \theta}{2}}$ .

● Mais uma propriedade com a qual economizamos cálculos!
A partir das razões relativas a um ângulo de medida

$\theta$ , com

$0^{\circ} \lt \theta \lt 45^{\circ}$ , podemos obter as razões trigonométricas dos ângulos com medidas

$\, \, 2 \theta \, \,$ e

$\, \, \dfrac{\theta}{2} \, .$

● Com a informação de que

$\overline{VA} \,$ e

$\overline{VC} \,$ são segmentos de comprimento

$1$ , a figura por si só justifica a primeira igualdade. Mas, aí vai uma dica:
observe que a área do triângulo $ACV$ pode ser escrita como $\dfrac{AC \cdot VB}{2} \,$ e também como $\dfrac{VC \cdot AD}{2}$ .

● Para demonstrar a segunda igualdade, observem que $VD + DC=1$ . Então escrevam $VD$ em função do ângulo $2\theta$ e, utilizando o triângulo $ADC$ escrevam $DC$ em função de $sen \, \theta$ .

Propriedade 4:

a) $\, \, sen \, 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}\qquad\qquad$ $\, \, \, \, cos \, 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\qquad\qquad$ $tg \, 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ .

b) $\, \, sen \, 45^{\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\qquad\qquad$ $cos \, 45^{\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\qquad\qquad$ $tg \, 45^{\circ}=1$ .

c) $\, \, sen \, 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\qquad\qquad$ $cos \, 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}\qquad\qquad$ $\, \, \, \, tg \, 60^{\circ}=\sqrt{3}$ .

● Diferentemente dos valores da tabela disponibilizada na sala principal, ou mesmo dos valores encontrados por vocês na Atividade 1, esta propriedade fornece os valores exatos para os senos, cossenos e tangentes dos ângulos de

$30^{\circ}, \, 45^{\circ} \,$ e

$\, 60^{\circ}$ .

Pelas propriedades anteriores, basta calcularmos uma razão trigonométrica para um ângulo de

$\, 30^{\circ}$ ou

$\, 60^{\circ}$ e uma para um ângulo de

$\, 45^{\circ}$ .
Sugestões:
● Para a razão do ângulo de

$\, 30^{\circ}$ ou de

$\, 60^{\circ}$ , basta considerar um triângulo equilátero com lados unitários e traçar uma de suas alturas.
● Para a razão do ângulo de

$\, 45^{\circ}$ , considere um triângulo retângulo com catetos unitários.
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