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Princípio Fundamental da Contagem – O PFC nas comunicações

É aqui que estudaremos informações computacionais utilizando o PFC?

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Isso mesmo!
Antes, porém, seria melhor se você assistisse ao Vídeo 1 do PIC, pois é interessante que você conheça o sistema binário para continuar a leitura.

Vamos assistir juntos, pessoal?

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Então aproveitem e passem, também, por nossa Pequena Galeria de Grandes Matemáticos para dar uma olhadinha na biografia do genial Gottfried Wilhelm Leibniz, o matemático alemão que, entre muitas outras valiosas contribuições, nos legou o sistema numérico binário tal como é conhecido hoje!

O PFC nas Comunicações*



REPRESENTAÇÃO DAS INFORMAÇÕES


informa

REPRESENTAÇÃO DAS INFORMAÇÕES

Em um texto, as informações apresentadas em forma de caracteres são entendidas pelo leitor porque este conhece o formato e o significado dos símbolos que representam os caracteres alfabéticos, os numéricos (algarismos) e os sinais de pontuação ou matemáticos (+, -, X, /, >, <, = etc.).
Da mesma forma, toda informação introduzida em um computador precisa ser entendida pela máquina, para depois ser processada.
Por só entender dois tipos de informação – ligado e desligado, a forma de representação interna de uma informação nos computadores é feita por meio de um sistema binário, no qual cada dígito assume os valores 0 (desligado) e 1 (ligado). Assim, letras, sinais, desenhos, gráficos, gravuras, fotos, imagem em movimento, som, palavras, música, texto, filme, são representados no computador esses dois elementos. É isso mesmo, a enorme quantidade de informações que circulam pela internet ou pelos computadores em todo o mundo se reduz, em última instância, a combinações intermináveis de zeros e uns. Cada dígito binário é conhecido como bit (contração das palavras inglesas binary digit), e por ter somente dois valores, ele pouco representa isoladamente; por essa razão, as informações manipuladas por um computador são codificadas em grupos ordenados. O menor grupo ordenado de bits que representa uma informação útil e inteligível para o ser humano é o byte (leia-se “baite”), formado, em geral, por 8 bits.
Assim, letras, números, sinais de pontuação, símbolos, como o cifrão ($), o arroba (@) ou um asterisco (*), são bytes, isto é, conjuntos de zeros e uns.

Informações extraídas de: http://www.di.ufpb.br/raimundo/Generalidades/RepInfo.html. Último acesso em: 08/08/2018

Vamos aprofundar esta discussão um pouco mais…

Observe que existem quatro informações de 2 bits (vide Tabela 1) e oito informações de 3 bits (vide Tabela 2).
 

Tabela 1
1º bit 2º bit
1 1
1 0
0 1
0 0
Tabela 2
1º bit 2º bit 3º bit
1 1 1
1 1 0
1 0 1
1 0 0
0 1 1
0 1 0
0 0 1
0 0 0

Para uma informação de 4 bits temos 16 possibilidades, conforme podemos observar na Tabela 3. Usando a Tabela 3 podemos, facilmente, obter a quantidade de possibilidades para as informações de 5 bits, conforme a Tabela 4.

 

Tabela 3
1º bit 2º bit 3º bit 4º bit
1 1 1 1
1 1 1 0
1 1 0 1
1 1 0 0
1 0 1 1
1 0 1 0
1 0 0 1
1 0 0 0
1 1 1 1
0 1 1 0
0 1 0 1
0 1 0 0
0 0 1 1
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
Tabela 4
1º bit 2º bit 3º bit 4º bit 5º bit
1 1 1 1 1
1 1 1 1 0
1 1 1 0 1
1 1 1 0 0
1 1 0 1 1
1 1 0 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 0 0
1 1 1 1 1
1 0 1 1 0
1 0 1 0 1
1 0 1 0 0
1 0 0 1 1
1 0 0 1 0
1 0 0 0 1
1 0 0 0 0
0 1 1 1 1
0 1 1 1 0
0 1 1 0 1
0 1 1 0 0
0 1 0 1 1
0 1 0 1 0
0 1 0 0 1
0 1 0 0 0
0 1 1 1 1
0 0 1 1 0
0 0 1 0 1
0 0 1 0 0
0 0 0 1 1
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0

Utilizando o Princípio Fundamental da Contagem, é possível calcular, rapidamente, o número de informações de 6 bits, de 7 bits, de 8 bits, etc.
Observe:

  • Uma informação de 6 bits é uma sequência de seis zeros ou uns, ou seja:
d1 d2 d3 d4 d5 d6

onde cada di é um 0 ou um 1.
Assim, são duas as possibilidades para d1: 0 ou 1. Para cada uma dessas, sabemos que existem 32 possibilidades para o bloco

d2 d3 d4 d5 d6

que, na verdade, são as possibilidades de informações de 5 bits.
Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos 2 x 32=64 informações de 6 bits.

  • Uma informação de 7 bits, por sua vez, é uma sequência de sete zeros ou uns:
e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7

onde cada ei é, também, um 0 ou um 1.
São duas as possibilidades para e1: 0 ou 1; e, para cada uma dessas, sabemos que existem 64 possibilidades (que são as possibilidades de informações de 6 bits).
Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos 2 x 64=128 informações de 7 bits.

Agora é com vocês!
Sendo n um número natural não nulo, quantas informações com n bits existem ?








O Sistema Braile


Podemos, também, utilizar o PFC para entender um pouco mais de uma interessante forma de comunicação: o Braile.
Vamos lá?

O Sistema Braile

Máquina para escrever em braile

Máquina para escrever em braile

O braile é um sistema de escrita e leitura para portadores de deficiências visuais, no qual a leitura é feita por meio do tato. Nesse sistema, as letras, os números e os outros sinais são representados por caracteres formados por matrizes de seis pontos, dos quais pelo menos um se destaca, em relevo, com relação aos outros. O sistema é empregado escrevendo-se a palavra letra por letra ou de forma abreviada, adotando-se códigos especiais de abreviaturas para cada língua ou grupo linguístico.
Esse processo de escrita foi inventado pelo francês Louis Braille (1809-1852). Braille, aos 3 anos de idade, adquiriu a deficiência visual ao ferir-se com um instrumento de trabalho do seu pai, que produzia selas. Aos 10 anos iniciou os seus estudos na Escola para cegos de Paris. Aos 15 anos, Louis Braille dedicou-se a encontrar um sistema que possibilitasse ao cego escrever em relevo, surgindo o sistema que hoje conhecemos como braile. É curioso constatar que para criar esse sistema ele inspirou-se nos desenhos em relevo que enfeitavam as selas confeccionadas pelo seu pai, feitos pelo próprio instrumento que o cegou.
Apesar do sistema braile não ter sido muito aceito naquela época, ele evoluiu ao longo dos anos e foi aperfeiçoado, sendo, nos dia de hoje, amplamente utilizado pelos portadores de deficiência visual de todo o mundo. Hoje, com o braile, representam-se os alfabetos latino, grego, hebraico, cirílico e outros, bem como os alfabetos e outros processos de escrita das línguas orientais; escreve-se o texto vocabular, tanto no modo integral como no estenográfico, a matemática, a geometria, a química, a fonética, a informática, a música, etc. braile2

Informações e figura extraídas das referências abaixo, acessadas em 08/08/ 2018:
http://www.acessibilidade.net/;
http://www.bengalalegal.com/sbraille .

E aí, pessoal, qual é o número máximo de caracteres distintos que podem ser representados no sistema braile?
É só utilizar o PFC! Vamos tentar?
Para ajudar, vejam a resposta abaixo.

Resposta: 63

* Texto adaptado do material didático da Formação Continuada de Professores da Rede Estadual de Ensino,
ministrado no estado do Mato Grosso do Sul em 2003 e escrito pela professora Sonia Regina Di Giacomo.

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P F C: três letrinhas poderosas, hein?



– Francimar de Brito Vieira
– Noemi Zeraick Monteiro
– Sonia Regina Di Giacomo
◆ Equipe COM – OBMEP

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Ei! E quanto aos problemas iniciais, sobre a Mega-Sena, as placas de automóveis e o fragmento de DNA?!
Agora eu sei resolvê-los!

carinha3

Calma, não me esqueci deles!
Vamos conferi-los na próxima Sala.

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