Princípio Fundamental da Contagem – Generalização

Veja o diagrama de árvore relativo ao Problema 5:

Observe que, a partir do PFC, podemos raciocinar da seguinte forma:
– temos, agora, duas decisões a serem tomadas: a escolha da roupa (calça e camiseta) e a escolha do chapéu.
Podemos calcular as possibilidades para a primeira escolha multiplicando o número de calças pelo número de blusas, como já fizemos. Essa multiplicação nos daria 6 possibilidades para a escolha da roupa.
Feito isso, utilizamos novamente o PFC para duas decisões (a escolha da roupa e a escolha do chapéu), e encontramos um total de 6 × 4 = 24 possibilidades.
Porém, se formos analisar essa solução vamos verificar que resolvemos a expressão (2 × 3) × 4. Pela propriedade associativa da multiplicação, essa expressão equivale a 2 × 3 × 4,ou seja, à multiplicação das possibilidades individuais de cada uma das três escolhas: a escolha da calça, a escolha da camiseta e a escolha do chapéu.
Para cada calça, há 3 possibilidades de camiseta e, para cada conjunto com uma calça e uma camiseta, há 4 possibilidades de chapéu. Portanto, o número total de possibilidades de escolha para os modelitos de Raíza é (2 × 3) × 4 = 2 × 3 × 4 = 24.

Princípio Multiplicativo – Princípio Fundamental da Contagem
Se as decisões A₁, A₂, A₃, …, A_n puderem ser tomadas de, respectivamente, a₁, a₂, a₃, …, a_n maneiras diferentes, então a quantidade de maneiras de se tomar sucessivamente essas n decisões é dada pelo produto: a₁ × a₂ × a₃ × … × a_n.

Poxa, isso é muito legal! E o diagrama de árvore ajuda bastante na visualização do Princípio. Vamos resolver mais exercícios?

Os problemas a seguir são para você pensar: tente resolvê-los sem ver as soluções. – Se você conseguir, parabéns! – Se não conseguir, não vale desanimar! Leia as soluções e tente aprender! Bons estudos!

Problemas Propostos

Problema 6:
Quantos são os números pares de três algarismos e começados por um algarismo ímpar?

Resposta: 250.

Solução:
     ▸ Para a escolha do primeiro algarismo, temos 5 possibilidades.
     ▸ O segundo algarismo pode ser qualquer um dos 10 algarismos que possuímos no nosso sistema de numeração.
     ▸ Já o último algarismo deve ser escolhido dentre os 5 algarismos pares.
Pelo Princípio Multiplicativo, há 5 × 10 × 5 = 250 números que satisfazem o enunciado.

Problema 7:
De quantas maneiras podemos escolher um chefe, um tesoureiro e um secretário para um clube, sendo que há 10 candidatos a chefe, 20 candidatos a tesoureiro e 30 candidatos a secretário?

Resposta: 6.000.

Solução:
Assustado com a resposta? Pois ela está correta!
Podemos escolher o chefe de 10 maneiras distintas. Para o tesoureiro e o secretário temos, respectivamente, 20 e 30 escolhas diferentes.

Assim, utilizando o PFC, há 10 × 20 × 30 = 6000 possibilidades de escolha.

Problema 8:
Cristina nasceu em um dia par, de um mês ímpar, de um ano par. Sabendo que ela nasceu após 1991 e antes de 2014, quantas são as possíveis datas para o nascimento de Cristina?

Resposta: 990.

Solução:
     ▸ Há 15 dias pares em todos os meses ímpares do ano.
     ▸ Há 6 meses ímpares em um ano.
     ▸ Entre 1991 e 2014, são 11 os anos pares.

Portanto, há 15 × 6 × 11 = 990 possíveis datas para o nascimento de Cristina.

Problema 9:
De quantas maneiras podemos escolher um capitão, um imediato e um cozinheiro de bordo de uma tripulação composta por 15 homens?

Resposta: 2.730.

Solução:
     ▸ Há 15 possibilidades de escolha para o capitão.
     ▸ Escolhido o capitão, há 14 possibilidades de escolha para o imediato.
     ▸ Selecionado este último, sobram 13 homens para a escolha do cozinheiro de bordo.

Pelo PFC, há 15 × 14 × 13 = 2730 possibilidades distintas para a escolha desejada.

Problema 10 (Banco de Questões – OBMEP 2011):
Cada uma das placas das bicicletas de Quixajuba contém três letras.
A primeira letra é escolhida dentre os elementos do conjunto A={G, H, L, P, R}, a segunda letra é escolhida dentre os elementos do conjunto B={M, I, O} e a terceira letra é escolhida dentre os elementos do conjunto C={D, U, N, T}.
Devido ao aumento no número de bicicletas da cidade, teve-se que expandir a quantidade de possibilidades de placas. Ficou determinado acrescentar duas novas letras a apenas um dos conjuntos ou uma letra nova a dois conjuntos.
Qual o maior número de novas placas que podem ser feitos, quando se acrescentam as duas novas letras?

Resposta: 40.

Solução(Banco de Questões – OBMEP 2011):
Inicialmente, é possível fazer o emplacamento de 5 × 3 × 4 = 60 bicicletas. Vamos analisar as duas situações possíveis:
– Aumentamos duas letras num dos conjuntos. Com isso, podemos ter

       Assim, com a modificação mostrada, o número de novas placas é no máximo 100-60=40.
– Aumentar uma letra em dois dos conjuntos. Com isso, podemos ter

       Neste caso, o número de placas novas também é no máximo 40.

Problema 11:
Ânika confecciona bolsas artesanais. Ela dispõe de 4 diferentes tipos de fecho, 3 diferentes tecidos para a bolsa e 6 cores distintas para a flor a ser utilizada como o “toque final”. Além disso, ela consegue fazer 2 modelos distintos de alça.
Ânika promete exclusividade a todas as suas clientes. No máximo, quantas clientes poderão comprar de Ânika até que ela modifique suas disponibilidades?

Resposta: 144.

Solução:
A fabricação das bolsas engloba quatro escolhas distintas:
      a escolha do fecho, a escolha do tecido, a escolha da flor e a do tipo de alça.
Pelo PFC, Ânika poderá confeccionar até 4 × 3 × 6 × 2 = 144 bolsas distintas.
Portanto, no máximo 144 clientes poderão comprar com exclusividade até que Ânika modifique seu estoque.

Problema 12:
Uma lanchonete oferece no cardápio 3 tamanhos distintos de embalagens com batatas fritas, 5 tipos de bebida, 8 tipos de sanduíches e 3 tipos diferentes de sobremesa. Uma pessoa deseja comprar uma embalagem com batatas fritas, um sanduíche, uma bebida e uma sobremesa.De quantas maneiras a pessoa poderá fazer o seu pedido ?

Resposta: 360.

Solução:
     ▸ Como o cardápio dispõe de 3 tamanhos distintos de embalagens com batatas fritas e 5 tipos de bebida, então para cada tamanho diferente de embalagem com batatas fritas, essa pessoa pode escolher qualquer um dos 5 tipos de bebida. Desse modo, tal pessoa pode escolher a embalagem com batatas e a bebida de 3 × 5 = 15 modos diferentes.
     ▸ Agora, para cada uma dessas 15 opções de combinações, a pessoa pode escolher qualquer um dos 8 tipos de sanduíche, obtendo 15 × 8 = 120 combinações diferentes de fazer o pedido.
     ▸ Entretanto, ainda falta escolher o tipo de sobremesa que ela deseja para concluir o pedido. Como o cardápio dispõe de 3 tipos de sobremesa, podemos concluir que o total de modos de essa pessoa fazer seu pedido é 120 × 3 = 360.

Observe que essa resposta poderia ser encontrada de imediato, fazendo-se apenas a multiplicação do total de maneiras de selecionar cada componente do pedido, ou seja, 3 × 5 × 8 × 3 = 360 maneiras.